《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例3 (1)已知过点$ M(1,1) $的直线与椭圆$ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1 $相交于$ A,B $两点,且线段$ AB $的中点为$ M $,则直线$ AB $的方程是__________.

答案： $x + 2y - 3 = 0$
解析：设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$\frac{x_1^2}{4} + \frac{y_1^2}{2} = 1$，$\frac{x_2^2}{4} + \frac{y_2^2}{2} = 1$，相减得$\frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{4} + \frac{(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)}{2} = 0$，$x_1 + x_2 = 2$，$y_1 + y_2 = 2$，$k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = -\frac{1}{2}$，直线方程$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)$，即$x + 2y - 3 = 0$。

(2)中心在原点,一个焦点为$ F_{1}(0,5\sqrt{2}) $的椭圆被直线$ y=3x-2 $截得的弦的中点的横坐标为$ \frac{1}{2} $,则椭圆的方程为__________.

答案： $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{75}=1$
解析：设椭圆方程$\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1$，$c = 5\sqrt{2}$，$a^2 - b^2 = 50$，设弦中点$(\frac{1}{2},y_0)$，$y_0 = 3×\frac{1}{2} - 2 = -\frac{1}{2}$，利用点差法得$\frac{y_1^2 - y_2^2}{a^2} + \frac{x_1^2 - x_2^2}{b^2} = 0$，$\frac{(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)}{a^2} + \frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{b^2} = 0$，$k = 3 = -\frac{a^2(x_1 + x_2)}{b^2(y_1 + y_2)} = -\frac{a^2×1}{b^2×(-1)} = \frac{a^2}{b^2}$，$a^2 = 3b^2$，联立$a^2 - b^2 = 50$，得$b^2 = 25$，$a^2 = 75$，方程$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{75} = 1$。

活学活用
已知椭圆$ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1 $,一组斜率为$ \frac{3}{2} $的平行直线与椭圆相交,则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（ ）
A. $ y=\frac{1}{2}x $
B. $ y=-2x $
C. $ y=-\frac{1}{2}x $
D. $ y=2x $

答案： C
解析：设中点$(x,y)$，利用点差法，$\frac{x_1^2 - x_2^2}{4} + \frac{y_1^2 - y_2^2}{3} = 0$，$\frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{4} + \frac{(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)}{3} = 0$，$k = \frac{3}{2} = -\frac{3(x_1 + x_2)}{4(y_1 + y_2)} = -\frac{3x}{4y}$，$\frac{3}{2} = -\frac{3x}{4y}$，$y = -\frac{1}{2}x$。

|当|堂|自|评|
1. 已知椭圆$ C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1 $,则下列各点不在椭圆内部的是（ ）
A. $ (1,1) $
B. $ (\sqrt{2},-1) $
C. $ (\sqrt{2},\sqrt{2}) $
D. $ (\frac{1}{2},1) $

答案： C
解析：代入各点，$C$选项$\frac{2}{4} + \frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6} ＞ 1$，在椭圆外部。

2. 已知直线$ kx+y+2k=0 $与椭圆$ \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=1 $相切,则$ k $的值为（ ）
A. 2
B. $ \frac{1}{2} $
C. $ \pm 2 $
D. $ \pm \frac{1}{2} $

答案： D
解析：直线$y = -k(x + 2)$，联立椭圆方程，$\frac{x^2}{3} + \frac{k^2(x + 2)^2}{4} = 1$，整理$(4 + 3k^2)x^2 + 12k^2x + 12k^2 - 12 = 0$，$\Delta = 144k^4 - 4(4 + 3k^2)(12k^2 - 12) = 0$，解得$k = \pm \frac{1}{2}$。

3. 直线$ y=x-1 $被椭圆$ 2x^{2}+y^{2}=4 $所截得的弦的中点坐标是（ ）
A. $ \left( \frac{1}{3},-\frac{2}{3} \right) $
B. $ \left( -\frac{2}{3},\frac{1}{3} \right) $
C. $ \left( \frac{1}{2},-\frac{1}{3} \right) $
D. $ \left( -\frac{1}{3},\frac{1}{2} \right) $

答案： A
解析：联立$\begin{cases}y = x - 1\\2x^2 + y^2 = 4\end{cases}$，得$3x^2 - 2x - 3 = 0$，中点横坐标$x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1}{3}$，$y = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$，坐标$(\frac{1}{3},-\frac{2}{3})$。

4. 已知直线$ y=x+m $与椭圆$ \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 $.
(1)若它们有两个公共点,求$ m $的取值范围.
(2)若它们只有一个公共点,求公共点的横坐标.

答案：
(1)$-\frac{\sqrt{17}}{2} ＜ m ＜ \frac{\sqrt{17}}{2}$
解析：联立方程得$5x^2 + 8mx + 4m^2 - 4 = 0$，$\Delta = 64m^2 - 20(4m^2 - 4) = -16m^2 + 80 ＞ 0$，$m^2 ＜ 5$，$-\sqrt{5} ＜ m ＜ \sqrt{5}$（原答案$\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$错误，修正为$\pm\sqrt{5}$）。
(2)$\pm\frac{4\sqrt{5}}{5}$
解析：$\Delta = 0$，$m = \pm\sqrt{5}$，代入方程得$x = -\frac{8m}{10} = \pm\frac{4\sqrt{5}}{5}$。