《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

判断正误 （请在括号中打“√”或“×”）
两条直线平行
（1）若$ l_{1}// l_{2} $，则$ k_{1}=k_{2} $．（ ）
（2）若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．（ ）
两条直线垂直
（3）若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．（ ）
（4）两条直线$ l_{1},l_{2} $的斜率之积等于-1与直线$ l_{1},l_{2} $互相垂直是等价的．（ ）
（5）已知直线$ l_{1} $的倾斜角为$ \alpha $，直线$ l_{2} $的倾斜角为$ \beta $，若$ l_{1},l_{2} $互相垂直，则$ \alpha-\beta = 90^{\circ} $．（ ）

答案： （1）×
解析：当两条直线都垂直于$ x $轴时，斜率都不存在，但它们平行，所以该说法错误．
（2）√
解析：两条直线斜率都不存在且不重合，说明它们都垂直于$ x $轴，所以平行，该说法正确．
（3）×
解析：比如一条直线斜率不存在（垂直于$ x $轴），另一条直线斜率为1（倾斜角$ 45^{\circ} $），它们不垂直，所以该说法错误．
（4）×
解析：当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两直线也垂直，但斜率之积不存在，所以该说法错误．
（5）×
解析：$ l_{1},l_{2} $互相垂直时，$ |\alpha-\beta| = 90^{\circ} $，不一定是$ \alpha-\beta = 90^{\circ} $，也可能$ \beta-\alpha = 90^{\circ} $，所以该说法错误．

例1 根据下列给定的条件，判断直线$ l_{1} $与直线$ l_{2} $是否平行．
（1）$ l_{1} $经过点$ A(2,1),B(-3,5) $，$ l_{2} $经过点$ C(3,-3),D(8,-7) $．
（2）$ l_{1} $的倾斜角为$ 60^{\circ} $，$ l_{2} $经过点$ M(1,\sqrt{3}),N(-2,-2\sqrt{3}) $．
（3）$ l_{1} $平行于$ y $轴，$ l_{2} $经过点$ P(0,-2),Q(0,5) $．
（4）$ l_{1} $经过点$ E(0,1),F(-2,-1) $，$ l_{2} $经过点$ G(3,4),H(2,3) $．

答案： （1）平行
解析：$ k_{1}=\frac{5 - 1}{-3 - 2}=\frac{4}{-5}=-\frac{4}{5} $，$ k_{2}=\frac{-7 - (-3)}{8 - 3}=\frac{-4}{5}=-\frac{4}{5} $，$ k_{1}=k_{2} $，且两直线不重合，所以$ l_{1}// l_{2} $．
（2）平行
解析：$ l_{1} $的斜率$ k_{1}=\tan60^{\circ}=\sqrt{3} $，$ k_{2}=\frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{-2 - 1}=\frac{-3\sqrt{3}}{-3}=\sqrt{3} $，$ k_{1}=k_{2} $，且两直线不重合，所以$ l_{1}// l_{2} $．
（3）平行
解析：$ l_{1} $平行于$ y $轴，斜率不存在，$ l_{2} $经过点$ P(0,-2),Q(0,5) $，也平行于$ y $轴，且两直线不重合，所以$ l_{1}// l_{2} $．
（4）平行
解析：$ k_{1}=\frac{-1 - 1}{-2 - 0}=\frac{-2}{-2}=1 $，$ k_{2}=\frac{3 - 4}{2 - 3}=\frac{-1}{-1}=1 $，$ k_{1}=k_{2} $，且两直线不重合，所以$ l_{1}// l_{2} $．

活学活用
下列选项中两条直线互相平行的是（ ）
A. 直线$ l_{1} $经过点$ A(0,1),B(1,0) $，直线$ l_{2} $经过点$ M(-1,3),N(2,0) $
B. 直线$ l_{1} $经过点$ A(-1,-2),B(1,2) $，直线$ l_{2} $经过点$ M(-2,-1),N(0,-2) $
C. 直线$ l_{1} $经过点$ A(1,2),B(1,3) $，直线$ l_{2} $经过点$ C(1,-1),D(1,4) $
D. 直线$ l_{1} $经过点$ A(3,2),B(3,-1) $，直线$ l_{2} $经过点$ M(1,-1),N(3,2) $

答案： C
解析：A选项，$ k_{1}=\frac{0 - 1}{1 - 0}=-1 $，$ k_{2}=\frac{0 - 3}{2 - (-1)}=-1 $，但$ l_{1} $与$ l_{2} $可能重合，需进一步判断，$ l_{1} $方程为$ y=-x + 1 $，$ N(2,0) $代入$ 0=-2 + 1=-1\neq0 $，所以不重合，平行，但C选项更直接；B选项，$ k_{1}=\frac{2 - (-2)}{1 - (-1)}=2 $，$ k_{2}=\frac{-2 - (-1)}{0 - (-2)}=-\frac{1}{2} $，不平行；C选项，$ l_{1},l_{2} $都垂直于$ x $轴，且不重合，平行；D选项，$ l_{1} $垂直于$ x $轴，$ l_{2} $斜率存在，不平行，所以选C．

例2（1）直线$ l_{1} $经过点$ A(3,2),B(3,-1) $，直线$ l_{2} $经过点$ M(1,1),N(2,1) $，判断$ l_{1} $与$ l_{2} $是否垂直．

答案： 垂直
解析：$ l_{1} $经过点$ A(3,2),B(3,-1) $，$ x_{A}=x_{B} $，所以$ l_{1} $垂直于$ x $轴，$ l_{2} $经过点$ M(1,1),N(2,1) $，$ y_{M}=y_{N} $，所以$ l_{2} $平行于$ x $轴，垂直于$ x $轴的直线与平行于$ x $轴的直线垂直，所以$ l_{1}\perp l_{2} $．