《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例1 求经过圆$x^2 + y^2 + 8x - 6y + 21 = 0$与直线$x - y + 5 = 0$的交点且被y轴截得的弦长为$2\sqrt{33}$的圆的方程.

答案： 设所求圆方程为$x^2 + y^2 + 8x - 6y + 21 + \lambda(x - y + 5) = 0$，令$x = 0$，得$y^2 - (6 + \lambda)y + 21 + 5\lambda = 0$。弦长$2\sqrt{33}$，则$|y_1 - y_2| = 2\sqrt{33}$，$(y_1 + y_2)^2 - 4y_1y_2 = 132$。$y_1 + y_2 = 6 + \lambda$，$y_1y_2 = 21 + 5\lambda$，$(6 + \lambda)^2 - 4(21 + 5\lambda) = 132$，解得$\lambda = 12$或$\lambda = -6$。圆方程为$x^2 + y^2 + 20x - 18y + 81 = 0$或$x^2 + y^2 + 2x - 0y + 1 = 0$（化简后）。

活学活用
求过直线$x + 3y - 7 = 0$与圆$x^2 + y^2 + 2x - 2y - 3 = 0$的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为-8的圆的方程.

答案： 设圆方程为$x^2 + y^2 + 2x - 2y - 3 + \lambda(x + 3y - 7) = 0$，令$x = 0$，$y^2 + (-2 + 3\lambda)y - 3 - 7\lambda = 0$，纵截距之和$y_1 + y_2 = 2 - 3\lambda$；令$y = 0$，$x^2 + (2 + \lambda)x - 3 - 7\lambda = 0$，横截距之和$x_1 + x_2 = -2 - \lambda$。四个截距之和$2 - 3\lambda - 2 - \lambda = -4\lambda = -8$，$\lambda = 2$，圆方程为$x^2 + y^2 + 4x + 4y - 17 = 0$。