《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

2. 已知椭圆的中心在原点,一个焦点为$ (-\sqrt{3},0) $,且其长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是（ ）
A. $ \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 $
B. $ x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1 $
C. $ \frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1 $
D. $ x^{2}+\frac{y^{2}}{3}=1 $

答案： A
解析：焦点在$x$轴，$c = \sqrt{3}$，$2a = 2×2b$即$a = 2b$，$a^2 - b^2 = 3$，$4b^2 - b^2 = 3$，$b^2 = 1$，$a^2 = 4$，方程$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$。

3. 已知焦点在$ x $轴上的椭圆$ C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b＞0) $的短轴长为2,则其离心率为（ ）
A. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $
B. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
C. $ \frac{1}{2} $
D. $ \frac{1}{4} $

答案： A
解析：短轴长$2b = 2$，$b = 1$，$a = 2$，$c = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$，$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

4. 已知椭圆$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0) $,$ F_{1},F_{2} $分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点$ P $使得$ PF_{1}\perp PF_{2} $,求椭圆的离心率的取值范围.

答案： $[\frac{\sqrt{2}}{2},1)$
解析：由题意，以$F_1F_2$为直径的圆与椭圆有交点，圆方程$x^2 + y^2 = c^2$，联立椭圆方程，得$(a^2 - b^2)x^2 + a^2(b^2 - c^2) = 0$，$b^2 \leq c^2$，$a^2 - c^2 \leq c^2$，$e^2 \geq \frac{1}{2}$，$e \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$，又$e ＜ 1$，故$e \in [\frac{\sqrt{2}}{2},1)$。

课时构建
直线$ y=kx+m $与椭圆$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0) $的位置关系的判断方法:
联立$ \begin{cases} y=kx+m, \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, \end{cases} $消$ y $(或$ x $)得到一个一元二次方程.
当$ \Delta＞0 $时,方程__________,直线与椭圆相交;
当$ \Delta=0 $时,方程__________,直线与椭圆相切;
当$ \Delta＜0 $时,方程__________,直线与椭圆相离.

答案： 有两个不同的实数解；有两个相等的实数解；没有实数解

判断正误 （请在括号中打“√”或“×”）
(1)点$ P(2,1) $在椭圆$ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 $的内部.（ ）
(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.（ ）
(3)过点$ A(0,1) $的直线一定与椭圆$ x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1 $相交.（ ）
(4)已知椭圆$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0) $与点$ P(b,0) $,过点$ P $可作出该椭圆的一条切线.（ ）
(5)直线$ y=k(x-a)(k\neq 0) $与椭圆$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $的位置关系是相交.（ ）

答案：
(1)√
解析：$\frac{4}{4} + \frac{1}{9} = 1 + \frac{1}{9} ＞ 1$，在椭圆外部，原答案错误，应为×。
(2)√
(3)√
(4)×
解析：$P(b,0)$在椭圆内，过椭圆内一点不能作切线，原答案正确。
(5)√
解析：直线过$(a,0)$，该点在椭圆上，直线与椭圆相交或相切，原答案正确。