《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例1（1）在平面直角坐标系中，已知两点$A(1,1),B(-1,-1)$，P为动点，且直线AP与BP的斜率之积为$-\frac{1}{2}$，则点P的轨迹方程为（ ）
A. $x^{2}+2y^{2}=3$ B. $x^{2}+2y^{2}=3(x\neq\pm1)$ C. $x^{2}-2y^{2}=3(x\neq\pm1)$ D. $2x^{2}+y^{2}=3(x\neq\pm1)$

答案： B
解析：设$P(x,y)$，$k_{AP}=\frac{y-1}{x-1}$，$k_{BP}=\frac{y+1}{x+1}$，则$\frac{y-1}{x-1}\cdot\frac{y+1}{x+1}=-\frac{1}{2}$，化简得$x^{2}+2y^{2}=3$，且$x\neq\pm1$（分母不为0）。

例1（2）已知两定点$A(1,1),B(-1,-1)$，动点$P(x,y)$满足$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\frac{x^{2}}{2}$，则点P的轨迹是______。

答案： 椭圆（标准方程$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$）
解析：$\overrightarrow{PA}=(1-x,1-y)$，$\overrightarrow{PB}=(-1-x,-1-y)$，$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(1-x)(-1-x)+(1-y)(-1-y)=x^{2}-1+y^{2}-1=x^{2}+y^{2}-2=\frac{x^{2}}{2}$，化简得$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$，轨迹为椭圆。

活学活用：已知$A(2,1),B(2,-1)$，O为坐标原点，动点P满足$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，其中$m,n\in\mathbf{R}$，且$m^{2}+n^{2}=\frac{1}{2}$，求动点P的轨迹方程。

答案： $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$
解析：设$P(x,y)$，$\overrightarrow{OP}=(2m+2n,m-n)=(x,y)$，则$\begin{cases}m+n=\frac{x}{2}\\m-n=y\end{cases}$，解得$m=\frac{x}{4}+\frac{y}{2}$，$n=\frac{x}{4}-\frac{y}{2}$，代入$m^{2}+n^{2}=\frac{1}{2}$得$(\frac{x}{4}+\frac{y}{2})^{2}+(\frac{x}{4}-\frac{y}{2})^{2}=\frac{1}{2}$，化简得$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$。

例2 已知B，C是两个定点，$|BC|=8$，且$\triangle ABC$的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程。

答案： $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1(y\neq0)$
解析：以BC中点为原点，BC所在直线为x轴建立坐标系，$B(-4,0),C(4,0)$，$|AB|+|AC|=18-8=10＞8$，轨迹为椭圆，$a=5$，$c=4$，$b=3$，方程为$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$（$y\neq0$，A，B，C不共线）。

活学活用：已知圆$A:(x+3)^{2}+y^{2}=100$，圆A内一定点$B(3,0)$，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程。

答案： $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$
解析：设圆P半径为r，圆A半径$R=10$，则$|PA|=R-r=10-|PB|$，即$|PA|+|PB|=10＞|AB|=6$，轨迹为椭圆，$a=5$，$c=3$，$b=4$，方程为$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$。