《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

如图,设$\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2}$分别是直线$l_{1},l_{2}$的方向向量.由方向向量的定义可知,如果两条直线平行,那么它们的方向向量一定___________;反过来,如果两条直线的方向向量平行,那么这两条直线也___________.所以$l_{1}// l_{2}\Leftrightarrow$___________$\Leftrightarrow\exists\lambda\in\mathbf{R}$,使得$\boldsymbol{u}_{1}=\lambda\boldsymbol{u}_{2}$.

答案： 平行;平行;$\boldsymbol{u}_{1}//\boldsymbol{u}_{2}$

如图,设$\boldsymbol{u}$是直线$l$的方向向量,$\boldsymbol{n}$是平面$\alpha$的法向量,$l\not\subset\alpha$,则$l//\alpha\Leftrightarrow$___________$\Leftrightarrow$___________$=0$.

答案： $\boldsymbol{u}\perp\boldsymbol{n}$;$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}$

判断正误（请在括号中打“√”或“×”）
(1)若两条直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反. ( )

答案： √
解析：平行直线的方向向量共线，方向相同或相反，故正确。

(2)若向量$\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}$为平面$\alpha$的法向量,则以这两个向量为方向向量的两条不重合的直线一定平行. ( )

答案： √
解析：法向量共线，故方向向量平行，直线平行，故正确。

(3)若直线$l$的一个方向向量为$\boldsymbol{a}=(-1,2,1)$,平面$\alpha$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(-1,-1,1)$,则$l//\alpha$. ( )

答案： ×
解析：$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}=1 - 2 + 1=0$，则$l//\alpha$或$l\subset\alpha$，故错误。

(4)若两个不同平面的法向量平行,则这两个平面平行. ( )

答案： √
解析：法向量平行则平面平行，故正确。

如图,在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,点$P$在线段$A_{1}D$上,点$Q$在线段$AC$上,线段$PQ$与直线$A_{1}D$和$AC$都垂直,求证:$PQ// BD_{1}.$

答案： 以$D$为原点，分别以$DA,DC,DD_{1}$所在直线为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，$P(a,0,a),Q(b,1-b,0)$，则$\overrightarrow{PQ}=(b-a,1-b,-a)$。因为$\overrightarrow{PQ}\perp\overrightarrow{A_{1}D}$且$\overrightarrow{PQ}\perp\overrightarrow{AC}$，所以$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{A_{1}D}=0$且$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{AC}=0$，解得$b-a=\frac{1}{2},1-b=\frac{1}{2},-a=-\frac{1}{2}$，即$\overrightarrow{PQ}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$。又$\overrightarrow{BD_{1}}=(-1,-1,1)$，所以$\overrightarrow{PQ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BD_{1}}$，故$PQ// BD_{1}$。