《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例2 已知椭圆$ C $的两个焦点分别是$ F_{1}(-1,0) $,$ F_{2}(1,0) $,并且经过点$ P\left( 1,\frac{\sqrt{2}}{2} \right) $.
(1)求椭圆$ C $的标准方程.
(2)若直线$ l:y=x+m $与椭圆$ C $相交于$ A,B $两点,当线段$ AB $的长度最大时,求直线$ l $的方程.

答案：
(1)$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$
解析：$c = 1$，$2a = |PF_1| + |PF_2| = \sqrt{(1 + 1)^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$，$a = \sqrt{2}$，$b^2 = 1$，方程$\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$。
(2)$m = 0$
解析：联立直线与椭圆方程得$3x^2 + 4mx + 2m^2 - 2 = 0$，$|AB| = \sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{24 - 8m^2}}{3} = \frac{4\sqrt{3 - m^2}}{3}$，当$m = 0$时，$|AB|$最大，直线方程$y = x$。

活学活用
斜率为1的直线$ l $与椭圆$ \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 $相交于$ A,B $两点,则$ |AB| $的最大值为（ ）
A. $ \frac{4\sqrt{5}}{5} $
B. $ \frac{4\sqrt{10}}{5} $
C. $ \frac{8\sqrt{10}}{5} $
D. $ \frac{8\sqrt{5}}{5} $

答案： B
解析：设直线$y = x + m$，联立椭圆方程得$5x^2 + 8mx + 4m^2 - 4 = 0$，$|AB| = \sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{80 - 16m^2}}{5} = \frac{4\sqrt{10 - 2m^2}}{5}$，最大值为$\frac{4\sqrt{10}}{5}$（当$m = 0$时）。

|当|堂|自|评|
1. 过椭圆$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0) $的焦点$ F(c,0) $的弦中最短的弦长是（ ）
A. $ \frac{2b^{2}}{a} $
B. $ \frac{2a^{2}}{b} $
C. $ \frac{2c^{2}}{a} $
D. $ \frac{2c^{2}}{b} $

答案： A
解析：过焦点垂直于长轴的弦最短，将$x = c$代入椭圆方程得$y = \pm\frac{b^2}{a}$，弦长$\frac{2b^2}{a}$。

2. 直线$ y=x+1 $被椭圆$ x^{2}+4y^{2}=8 $截得的弦长是（ ）
A. $ \frac{12\sqrt{2}}{5} $
B. $ \frac{8\sqrt{2}}{5} $
C. $ \sqrt{34} $
D. $ \frac{\sqrt{17}}{2} $

答案： A
解析：联立$\begin{cases}y = x + 1\\x^2 + 4y^2 = 8\end{cases}$，得$5x^2 + 8x - 4 = 0$，$|AB| = \sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{64 + 80}}{5} = \sqrt{2}\cdot\frac{12}{5} = \frac{12\sqrt{2}}{5}$。

3. 已知椭圆$ C $的焦点在$ x $轴上,长轴长为4,过右焦点$ F_{2} $且垂直于$ x $轴的直线交椭圆$ C $于$ A,B $两点,且$ |AB|=3 $,则椭圆$ C $的方程为（ ）
A. $ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1 $
B. $ \frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1 $
C. $ \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1 $
D. $ \frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1 $

答案： A
解析：长轴长$2a = 4$，$a = 2$，右焦点$F_2(c,0)$，将$x = c$代入椭圆方程得$y = \pm\frac{b^2}{a}$，$|AB| = \frac{2b^2}{a} = 3$，$b^2 = 3$，方程$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$。

4. 已知椭圆$ C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1 $与经过左焦点$ F_{1} $的一条直线交于$ A,B $两点.
(1)若$ F_{2} $为右焦点,求$ \triangle ABF_{2} $的周长.
(2)若直线$ AB $的倾斜角为$ \frac{\pi}{4} $,求线段$ AB $的长.

答案：
(1)8
解析：周长$|AB| + |AF_2| + |BF_2| = (|AF_1| + |BF_1|) + |AF_2| + |BF_2| = 4a = 8$。
(2)$\frac{24}{7}$
解析：左焦点$F_1(-1,0)$，直线$AB:y = x + 1$，联立椭圆方程得$7x^2 + 8x - 8 = 0$，$|AB| = \sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{64 + 224}}{7} = \sqrt{2}\cdot\frac{8\sqrt{6}}{7} = \frac{8\sqrt{12}}{7} = \frac{16\sqrt{3}}{7}$（原答案$\frac{24}{7}$错误，修正为$\frac{16\sqrt{3}}{7}$）。