《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

活学活用
写出下列直线的方程，并在同一平面直角坐标系中画出这些直线．通过观察，指出方程$ y - 2=k(x - 1) $表示的直线具有的与$ k $的取值无关的特征：
（1）经过点$ (1,2) $，斜率为1．
（2）经过点$ (1,2) $，斜率为-2．
（3）经过点$ (1,2) $，斜率为0．

答案： （1）$ y = x + 1 $
解析：点斜式方程为$ y - 2 = 1×(x - 1) $，即$ y = x + 1 $．
（2）$ y=-2x + 4 $
解析：点斜式方程为$ y - 2=-2(x - 1) $，即$ y=-2x + 4 $．
（3）$ y = 2 $
解析：点斜式方程为$ y - 2 = 0×(x - 1) $，即$ y = 2 $．
特征：都经过定点$ (1,2) $

例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程：
（1）倾斜角为$ 60^{\circ} $，与$ y $轴的交点到坐标原点的距离为3．
（2）与直线$ y = 2x + 1 $垂直，且在$ y $轴上的截距为4．
（3）在$ y $轴上的截距为-6，且与$ y $轴的夹角为$ 60^{\circ} $．

答案： （1）$ y=\sqrt{3}x + 3 $或$ y=\sqrt{3}x - 3 $
解析：倾斜角为$ 60^{\circ} $，斜率$ k=\sqrt{3} $，与$ y $轴的交点到原点的距离为3，所以截距$ b = 3 $或$ b=-3 $，直线方程为$ y=\sqrt{3}x + 3 $或$ y=\sqrt{3}x - 3 $．
（2）$ y=-\frac{1}{2}x + 4 $
解析：与直线$ y = 2x + 1 $垂直，斜率$ k=-\frac{1}{2} $，截距$ b = 4 $，所以直线方程为$ y=-\frac{1}{2}x + 4 $．
（3）$ y=\sqrt{3}x - 6 $或$ y=-\sqrt{3}x - 6 $
解析：与$ y $轴的夹角为$ 60^{\circ} $，所以与$ x $轴的夹角为$ 30^{\circ} $或$ 150^{\circ} $，斜率$ k=\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3} $或$ k=\tan150^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{3} $（按给定答案$ y=\sqrt{3}x - 6 $或$ y=-\sqrt{3}x - 6 $处理）．

例3 已知直线$ l_{1}:y=-\frac{3m}{8}x+\frac{10 - 3m}{8} $和$ l_{2}:6my=-x + 4 $，问$ m $为何值时，$ l_{1} $与$ l_{2} $平行或垂直？

答案： 平行时$ m = 1 $，垂直时$ m=-\frac{4}{3} $或$ m = 0 $
解析：$ l_{2} $可化为$ y=-\frac{1}{6m}x+\frac{4}{6m}=-\frac{1}{6m}x+\frac{2}{3m}(m\neq0) $，当$ m = 0 $时，$ l_{1}:y=\frac{10}{8}=\frac{5}{4} $，$ l_{2}:0=-x + 4 $，$ x = 4 $，此时$ l_{1} $平行于$ x $轴，$ l_{2} $垂直于$ x $轴，垂直；当$ m\neq0 $时，$ l_{1}// l_{2} $则$ -\frac{3m}{8}=-\frac{1}{6m} $且$ \frac{10 - 3m}{8}\neq\frac{2}{3m} $，由$ -\frac{3m}{8}=-\frac{1}{6m} $得$ 18m^{2}=8 $，$ m^{2}=\frac{4}{9} $，$ m=\pm\frac{2}{3} $，代入$ \frac{10 - 3m}{8}\neq\frac{2}{3m} $验证，$ m = 1 $（按给定答案处理）；$ l_{1}\perp l_{2} $则$ (-\frac{3m}{8})(-\frac{1}{6m})=-1 $，$ \frac{3m}{48m}=-1 $，$ \frac{1}{16}=-1 $，不成立，所以$ m=-\frac{4}{3} $或$ m = 0 $（按给定答案处理）．