《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

如图,直线$l$的方向向量为$\boldsymbol{u}$,$A$是直线$l$上的定点,$P$是直线$l$外一点.设$\overrightarrow{AP}=\boldsymbol{a}$,则向量$\overrightarrow{AP}$在直线$l$上的投影向量$\overrightarrow{AQ}=(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{u})\boldsymbol{u}$.在$Rt\triangle APQ$中,由勾股定理,得点$P$到直线$l$的距离为$PQ=$______$=$______$=$______.

答案： $\sqrt{|\overrightarrow{AP}|^{2}-|\overrightarrow{AQ}|^{2}}$；$\sqrt{|\boldsymbol{a}|^{2}-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{u})^{2}}$；$\frac{|\boldsymbol{a}×\boldsymbol{u}|}{|\boldsymbol{u}|}$

如图,已知平面$\alpha$的法向量为$\boldsymbol{n}$,$A$是平面$\alpha$内的定点,$P$是平面$\alpha$外一点.过点$P$作平面$\alpha$的垂线$l$,交平面$\alpha$于点$Q$,则$\boldsymbol{n}$是直线$l$的方向向量,且点$P$到平面$\alpha$的距离就是$\overrightarrow{AP}$在直线$l$上的投影向量$\overrightarrow{QP}$的长度.因此$PQ=$______$=$______$=$______.

答案： $|\overrightarrow{AP}\cdot\frac{\boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{n}|}|$；$\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}$；$\frac{|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}$（其中$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AP}$）

(1)直线上的任意一点到该直线的距离是0. ( )

答案： √

(2)直线外一点到该直线的距离就是该点与直线上任意一点连线的距离. ( )

答案： ×

(3)平面$\alpha$外一点$A$到平面$\alpha$的距离,就是点$A$与平面内一点$B$所成向量$\overrightarrow{AB}$的长度. ( )

答案： ×

(4)若直线$l//$平面$\alpha$,则直线$l$到平面$\alpha$的距离就是直线$l$上的点到平面$\alpha$的距离. ( )

答案： √

(5)若平面$\alpha//\beta$,则两平面$\alpha,\beta$的距离可转化为平面$\alpha$内某条直线到平面$\beta$的距离,也可转化为平面$\alpha$内某点到平面$\beta$的距离. ( )

答案： √