《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

判断正误（请在括号中打“√”或“×”）
(1)方程$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=m^{2}$一定表示圆。（ ）
(2)若圆的标准方程为$(x + m)^{2}+(y + n)^{2}=a^{2}(a\neq0)$，则此圆的半径一定是$a$。（ ）
(3)过原点的圆的标准方程可以表示为$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=a^{2}+b^{2}(a^{2}+b^{2}＞0)$。（ ）
(4)方程$(x + 2)^{2}+(y + 2)^{2}=5$表示圆心是$(2,2)$，半径是$\sqrt{5}$的圆。（ ）
(5)点$(0,0)$在圆$(x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}=1$上。（ ）
(6)点$(a,b)$一定在圆$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}$内部。（ ）

答案：
(1)×
(2)×
(3)√
(4)×
(5)×
(6)×
解析：
(1)$m = 0$时表示点，×；
(2)半径是$|a|$，×；
(3)原点到圆心距离等于半径，√；
(4)圆心$(-2,-2)$，×；
(5)$(0 - 1)^{2}+(0 - 2)^{2}=5＞1$，×；
(6)点在圆上，×。

例1 (1)过圆$C:(x - 1)^{2}+y^{2}=1$外一点$P(3,2)$，以$CP$为直径的圆的标准方程是（ ）
A. $(x-\frac{3}{2})^{2}+(y-\frac{3}{2})^{2}=\frac{5}{2}$
B. $(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=4$
C. $(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=8$
D. $(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=2$

答案： D
解析：圆心$C(1,0)$，$CP$中点$(2,1)$，半径$\frac{1}{2}|CP|=\frac{1}{2}\sqrt{(3 - 1)^{2}+(2 - 0)^{2}}=\sqrt{2}$，方程$(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=2$。

例1 (2)圆$C$的圆心在直线$y = 2x$上，且和$y$轴相切于点$A(0,2)$，则圆$C$的标准方程为（ ）
A. $(x + 1)^{2}+(y - 2)^{2}=1$
B. $(x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}=1$
C. $(x + 2)^{2}+(y - 1)^{2}=1$
D. $(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=1$

答案： B
解析：圆心在$y = 2x$上且过$A(0,2)$，则圆心$(1,2)$，半径$1$，方程$(x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}=1$。

活学活用 (1)以$(1,-2)$为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆的方程是（ ）
A. $(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=2$
B. $(x + 1)^{2}+(y - 2)^{2}=2$
C. $(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=\sqrt{2}$
D. $(x + 1)^{2}+(y - 2)^{2}=\sqrt{2}$

答案： A
解析：标准方程$(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2$，选A。

活学活用 (2)某圆的圆心坐标为$(2,-1)$，且过点$(4,-2)$，则该圆的标准方程是________。

答案： $(x - 2)^{2}+(y + 1)^{2}=5$
解析：半径$\sqrt{(4 - 2)^{2}+(-2 + 1)^{2}}=\sqrt{5}$，方程$(x - 2)^{2}+(y + 1)^{2}=5$。

例2 求经过点$P(1,1)$和原点$O$，并且圆心在直线$2x + 3y + 1=0$上的圆的标准方程。

答案： $(x - 4)^{2}+(y - 3)^{2}=25$
解析：设圆心$(a,b)$，则$\left\{\begin{array}{l}a^{2}+b^{2}=(a - 1)^{2}+(b - 1)^{2}\\2a + 3b + 1 = 0\end{array}\right.$，解得$a = 4,b=-3$，半径$5$，方程$(x - 4)^{2}+(y + 3)^{2}=25$（原答案可能有误，按计算应为$(x - 4)^{2}+(y + 3)^{2}=25$）。