《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

(3)在$x$轴和$y$轴上的截距分别是$\frac{3}{2},-3$.
(4)经过点$P_{1}(3,-2),P_{2}(5,-4)$.

答案：
(3)$2x - y - 3=0$
解析：截距式$\frac{x}{\frac{3}{2}}+\frac{y}{-3}=1$，$\frac{2x}{3}-\frac{y}{3}=1$，$2x - y - 3=0$。
(4)$x + y - 1=0$
解析：斜率$\frac{-4 - (-2)}{5 - 3}=-1$，点斜式$y + 2=-(x - 3)$，$x + y - 1=0$。

活学活用 根据条件写出下列直线的方程,并化成一般式.
(1)直线的斜率为2,在$y$轴上的截距是$-5$.
(2)直线的倾斜角是直线$y=-\sqrt{3}x + 1$的倾斜角的一半,且过点$(-\sqrt{3},2)$.

答案：
(1)$2x - y - 5=0$
解析：斜截式$y = 2x - 5$，一般式$2x - y - 5=0$。
(2)$x - \sqrt{3}y + 3=0$
解析：已知直线倾斜角为$120^{\circ}$，一半为$60^{\circ}$，斜率$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，方程$y - 2=\sqrt{3}(x + \sqrt{3})$，$y - 2=\sqrt{3}x + 3$，$\sqrt{3}x - y + 5=0$。

(1)“$a=\frac{1}{6}$”是“直线$x + 2ay - 1=0$与直线$(3a - 1)x - ay - 1=0$平行”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： A
解析：当$a=\frac{1}{6}$时，两直线方程$x + \frac{1}{3}y - 1=0$和$-\frac{1}{2}x - \frac{1}{6}y - 1=0$，斜率都为$-3$，平行；当两直线平行时，$1×(-a)-2a(3a - 1)=0$，$-a - 6a^{2} + 2a=0$，$a - 6a^{2}=0$，$a(1 - 6a)=0$，$a=0$或$a=\frac{1}{6}$，所以是充分不必要条件，故选A。

(2)已知直线$Ax + By + C = 0$与直线$y = 2x - 3$垂直，则（ ）
A. $A = -2B\neq0$
B. $A = 2B\neq0$
C. $B = -2A\neq0$
D. $B = 2A\neq0$

答案： C
解析：已知直线斜率为2，垂直斜率为$-\frac{1}{2}$，所以$-\frac{A}{B}=-\frac{1}{2}$，即$B = -2A\neq0$。