《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

3. 设某村庄外围呈圆形，其所在的曲线可用方程$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$表示，村外一小路可用方程$x - y + 2 = 0$表示，则从村庄外围到小路的最短距离是__________.

答案： $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ 圆心(2,-3)到直线距离$d = \frac{|2 - (-3) + 2|}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$，最短距离$d - r = \frac{7\sqrt{2}}{2} - 2 = \frac{7\sqrt{2} - 4}{2}$（注：原答案可能有误，按题目要求应为$\frac{7\sqrt{2}}{2} - 2$，若题目中圆半径为2，直线方程正确，则此为正确结果。若答案为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，可能圆心或直线方程不同，此处按题目所给条件计算）。

4. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小. 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺. 问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小. 用锯去锯这根木材，锯口深ED=1寸，锯道长AB=1尺（1尺=10寸）. 这根圆形木材的直径是__________寸.

答案： 26 设半径为r，$OE = r - 1$，$OA = r$，$AE = 5$寸。
由勾股定理$r^2 = 5^2 + (r - 1)^2$，$r^2 = 25 + r^2 - 2r + 1$，$2r = 26$，$r = 13$，直径26寸。

5. 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它会不会受到台风的影响？

答案： 不会 以台风中心为原点，建立坐标系，轮船位置(70,0)，港口(0,40)，轮船航线方程$\frac{x}{70} + \frac{y}{40} = 1$，即$4x + 7y - 280 = 0$。
台风中心到航线距离$d = \frac{|0 + 0 - 280|}{\sqrt{16 + 49}} = \frac{280}{\sqrt{65}} \approx 34.6 ＞ 30$，不会受影响。

判断正误（请在括号中打“√”或“×”）
(1)如果两个圆的方程组组成的方程组只有一组实数解，那么两圆外切.（ ）
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交.（ ）
(3)若两圆没有公共点，则$d ＞ r_1 + r_2$.（ ）
(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.（ ）
(5)过圆$O:x^2 + y^2 = r^2$外一点$P(x_0,y_0)$作圆的两条切线，切点分别为A,B，则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是$x_0x + y_0y = r^2$.（ ）

答案：
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
(5)√