《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

活学活用（1）求长轴长与短轴长的和为18，焦距为6的椭圆的标准方程。

答案： $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$或$\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{16}=1$
解析：$2a+2b=18$，$a+b=9$，$2c=6$，$c=3$，$a^{2}-b^{2}=9$，解得$a=5$，$b=4$，方程如上。

例3（1）已知$F_{1},F_{2}$是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点．若$PF_{1}\perp PF_{2}$，且$\angle PF_{2}F_{1}=60^{\circ}$，则椭圆C的离心率为（ ）
A. $1-\frac{\sqrt{3}}{2}$ B. $2-\sqrt{3}$ C. $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ D. $\sqrt{3}-1$

答案： D
解析：设$|F_{1}F_{2}|=2c$，$\angle PF_{2}F_{1}=60^{\circ}$，则$|PF_{2}|=c$，$|PF_{1}|=\sqrt{3}c$，由椭圆定义$\sqrt{3}c+c=2a$，$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$。

例3（2）已知点F，A分别是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左焦点、右顶点，$B(0,b)$满足$\overrightarrow{FB}\cdot\overrightarrow{AB}=0$，则椭圆的离心率等于（ ）
A. $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ B. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ C. $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ D. $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

答案： B
解析：$F(-c,0)$，$A(a,0)$，$\overrightarrow{FB}=(c,b)$，$\overrightarrow{AB}=(-a,b)$，$\overrightarrow{FB}\cdot\overrightarrow{AB}=-ac+b^{2}=0$，$b^{2}=ac$，$a^{2}-c^{2}=ac$，$e^{2}+e-1=0$，解得$e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。

活学活用（1）已知点A，B分别是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的上、下顶点，C为椭圆的右顶点，若$\triangle ABC$为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D. $\frac{1}{2}$

答案： A
解析：$|AB|=2b$，$|AC|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，由正三角形$2b=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，$3b^{2}=a^{2}$，$e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。

活学活用（2）设椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1},F_{2}$，点P在C上，$\frac{1}{2}|PF_{1}|=5-\frac{1}{2}|PF_{2}|$，且椭圆过点$M(0,4)$，则椭圆C的离心率为（ ）
A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{2}{5}$ C. $\frac{3}{5}$ D. $\frac{4}{5}$

答案： C
解析：由条件得$|PF_{1}|+|PF_{2}|=10=2a$，$a=5$，过$M(0,4)$，$b=4$，$c=3$，$e=\frac{3}{5}$。

|当|堂|自|评|
1. 已知椭圆的方程为$ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1 $,则该椭圆的（ ）
A. 长轴长为2
B. 短轴长为$ \sqrt{3} $
C. 焦距为1
D. 离心率为$ \frac{1}{2} $

答案： D
解析：$a = 2$，长轴长$4$；$b = \sqrt{3}$，短轴长$2\sqrt{3}$；$c = 1$，焦距$2$；$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$。