《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例2 (1)如图，在长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$M$为$DD_{1}$的中点，$N\in AC$，且$AN:NC = 2:1$，求证：$A_{1}$，$B$，$N$，$M$四点共面。

答案： 设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{c}$，则$\overrightarrow{A_{1}B}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{A_{1}M}=\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{A_{1}N}=\frac{2}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$。设$\overrightarrow{A_{1}N}=x\overrightarrow{A_{1}B}+y\overrightarrow{A_{1}M}$，则$\frac{2}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=x(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})+y(\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}\boldsymbol{c})$，解得$x=\frac{2}{3}$，$y=\frac{1}{3}$，故$A_{1}$，$B$，$N$，$M$四点共面。

例2 (2)对于不共线的三点$A$，$B$，$C$和平面$ABC$外的一点$O$，空间一点$P$满足关系$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$，求证：点$P$在平面$ABC$内的充要条件是$x + y + z=1$。

答案： 充分性：若$x + y + z=1$，则$\overrightarrow{OP}=(1 - y - z)\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{AP}=y\overrightarrow{AB}+z\overrightarrow{AC}$，故$P$在平面$ABC$内。必要性：若$P$在平面$ABC$内，则存在$m$，$n$使$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+m(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})+n(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})=(1 - m - n)\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}$，故$x + y + z=1$。

活学活用：已知$A$，$B$，$C$三点不共线，$O$为平面$ABC$外一点，点$M$满足$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}$。(1)判断$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MC}$三个向量是否共面。

答案： 共面

当堂自评1. 对于空间的任意三个向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$，它们一定是（ ）A. 共面向量B. 共线向量C. 不共面向量D. 既不共线也不共面向量

答案： A

当堂自评2. 设空间四点$O$，$A$，$B$，$P$满足$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，其中$m + n=1$，则（ ）A. 点$P$一定在直线$AB$上B. 点$P$一定不在直线$AB$上C. 点$P$可能在直线$AB$上，也可能不在直线$AB$上D. $\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AP}$的方向一定相同

答案： A

当堂自评3. 已知平面$ABCD$外任意一点$O$满足$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\lambda\overrightarrow{OC}+(1-\frac{5}{3}\lambda)\overrightarrow{OD}$，$\lambda\in\mathbf{R}$，则$\lambda$的值是（ ）A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{2}{5}$C. $\frac{1}{3}$D. $\frac{1}{6}$

答案： C

当堂自评4. 对空间中任意一点$O$和不共线的三点$A$，$B$，$C$，能得到$P$在平面$ABC$内的是（ ）A. $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$B. $\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$C. $\overrightarrow{CP}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}-4\overrightarrow{OC}$D. $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{OC}$

答案： C

当堂自评5. 如图所示已知平行六面体$ABCD-A'B'C'D'$ $E$,$F$,$G$,$H$分别是棱$A'D'$,$C'D'$,$CC'$和$AB$的中点,求证:$E$,$F$,$G$,$H$四点共面.

答案： 设$\overrightarrow{AA'}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{c}$，则$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{EH}=\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{EG}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$。设$\overrightarrow{EG}=x\overrightarrow{EF}+y\overrightarrow{EH}$，解得$x = 1$，$y=1$，故$E$，$F$，$G$，$H$四点共面。