《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

如图,在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,$E,F$分别为$DD_{1}$和$BB_{1}$的中点.求证:四边形$AEC_{1}F$是平行四边形.

答案： 以$D$为原点，分别以$DA,DC,DD_{1}$所在直线为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则$A(2,0,0),E(0,0,1),C_{1}(0,2,2),F(2,2,1)$。$\overrightarrow{AE}=(-2,0,1),\overrightarrow{FC_{1}}=(-2,0,1)$，$\overrightarrow{EC_{1}}=(0,2,1),\overrightarrow{AF}=(0,2,1)$，所以$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{FC_{1}}$，$\overrightarrow{EC_{1}}=\overrightarrow{AF}$，故四边形$AEC_{1}F$是平行四边形。

如图,在正三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中,$D$是$AC$的中点,求证:$AB_{1}//$平面$DBC_{1}.$

答案： 设正三棱柱棱长为2，以$A$为原点，$AC$所在直线为$y$轴，$AA_{1}$所在直线为$z$轴建立空间直角坐标系，则$A(0,0,0),B(\sqrt{3},1,0),B_{1}(\sqrt{3},1,2),D(0,1,0),C_{1}(0,2,2)$。$\overrightarrow{AB_{1}}=(\sqrt{3},1,2)$，$\overrightarrow{DB}=(\sqrt{3},0,0)$，$\overrightarrow{DC_{1}}=(0,1,2)$。设平面$DBC_{1}$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DB}=0$且$\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DC_{1}}=0$，取$\boldsymbol{n}=(0,2,-1)$。因为$\overrightarrow{AB_{1}}\cdot\boldsymbol{n}=0$且$AB_{1}\not\subset$平面$DBC_{1}$，所以$AB_{1}//$平面$DBC_{1}$。

在四棱锥$P-ABCD$中,四边形$ABCD$是正方形,侧棱$PD$垂直于底面$ABCD$,$PD=DC$,$E$是$PC$的中点.证明:$PA//$平面$EDB.$

答案： 以$D$为原点，分别以$DA,DC,DP$所在直线为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系，设$PD=DC=2$，则$P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,0),E(0,1,1)$。$\overrightarrow{PA}=(2,0,-2)$，$\overrightarrow{DE}=(0,1,1)$，$\overrightarrow{DB}=(2,2,0)$。设平面$EDB$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DE}=0$且$\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DB}=0$，取$\boldsymbol{n}=(1,-1,1)$。因为$\overrightarrow{PA}\cdot\boldsymbol{n}=0$且$PA\not\subset$平面$EDB$，所以$PA//$平面$EDB$。

如图,在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,$M,N,E,F$分别是棱$A_{1}B_{1},A_{1}D_{1},B_{1}C_{1},C_{1}D_{1}$的中点.求证:平面$AMN//$平面$EFDB.$

答案： 以$D$为原点，分别以$DA,DC,DD_{1}$所在直线为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则$A(2,0,0),M(2,1,2),N(1,0,2),E(1,2,2),F(0,1,2),B(2,2,0)$。$\overrightarrow{AM}=(0,1,2)$，$\overrightarrow{AN}=(-1,0,2)$，$\overrightarrow{EF}=(-1,-1,0)$，$\overrightarrow{EB}=(1,0,-2)$。设平面$AMN$的法向量为$\boldsymbol{n}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$，平面$EFDB$的法向量为$\boldsymbol{n}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$，求得$\boldsymbol{n}_{1}=(4,4,-1)$，$\boldsymbol{n}_{2}=(2,2,-1)$，因为$\boldsymbol{n}_{1}=2\boldsymbol{n}_{2}$，所以平面$AMN//$平面$EFDB$。