《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例1 (1)若点$ P(a,1) $在椭圆$ \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}=1 $的外部,则$ a $的取值范围为（ ）
A. $ \left( -\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3} \right) $
B. $ \left( -\infty,-\frac{2\sqrt{3}}{3} \right)\cup \left( \frac{2\sqrt{3}}{3},+\infty \right) $
C. $ \left( \frac{4}{3},+\infty \right) $
D. $ \left( -\infty,-\frac{4}{3} \right) $

答案： B
解析：点$P(a,1)$在椭圆外部，则$\frac{a^2}{2} + \frac{1}{3} ＞ 1$，$\frac{a^2}{2} ＞ \frac{2}{3}$，$a^2 ＞ \frac{4}{3}$，$a ＜ -\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$a ＞ \frac{2\sqrt{3}}{3}$。

(2)若点$ P(0,1) $位于焦点在$ x $轴上的椭圆$ \frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1 $的内部,则$ m $的取值范围是__________.

答案： $(1,5)$
解析：焦点在$x$轴，$m ＜ 5$，点$P$在内部，$\frac{0}{5} + \frac{1}{m} ＜ 1$，$m ＞ 1$，故$1 ＜ m ＜ 5$。

例2 已知直线$ l:y=2x+m $,椭圆$ C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1 $.试问当实数$ m $取何值时,直线$ l $与椭圆$ C $:
(1)有两个不同的公共点?
(2)有且只有一个公共点?
(3)没有公共点?

答案：
(1)$-2\sqrt{5} ＜ m ＜ 2\sqrt{5}$
解析：联立$\begin{cases}y = 2x + m\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1\end{cases}$，消$y$得$9x^2 + 8mx + 2m^2 - 4 = 0$，$\Delta = 64m^2 - 36(2m^2 - 4) = -8m^2 + 144$，$\Delta ＞ 0$，$-8m^2 + 144 ＞ 0$，$m^2 ＜ 18$，$-3\sqrt{2} ＜ m ＜ 3\sqrt{2}$（原答案$-2\sqrt{5}$错误，修正为$-3\sqrt{2}$）。
(2)$m = \pm 3\sqrt{2}$
解析：$\Delta = 0$，$m = \pm 3\sqrt{2}$。
(3)$m ＜ -3\sqrt{2}$或$m ＞ 3\sqrt{2}$
解析：$\Delta ＜ 0$，$m ＜ -3\sqrt{2}$或$m ＞ 3\sqrt{2}$。

活学活用
判断直线$ y=2x-2 $与椭圆$ \frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1 $是否有公共点.如有,求出公共点的坐标,如公共点有两个,求出以这两个公共点为端点的线段长.

答案： 有公共点，坐标为$(\frac{5}{3},\frac{4}{3})$和$(1,0)$，弦长$\frac{2\sqrt{5}}{3}$
解析：联立$\begin{cases}y = 2x - 2\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1\end{cases}$，消$y$得$24x^2 - 40x = 0$，$x(24x - 40) = 0$，$x = 0$或$x = \frac{5}{3}$，对应$y = -2$或$y = \frac{4}{3}$，公共点$(0,-2)$，$(\frac{5}{3},\frac{4}{3})$，弦长$\sqrt{(\frac{5}{3} - 0)^2 + (\frac{4}{3} + 2)^2} = \frac{5\sqrt{5}}{3}$（原答案坐标错误，修正后计算弦长为$\frac{5\sqrt{5}}{3}$）。