《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例1 (1)已知$\boldsymbol{a}=(-1,2,1)$,$\boldsymbol{b}=(2,0,1)$,则$(2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=$___________.

答案： -10
解析：$2\boldsymbol{a}=( -2,4,2)$，$3\boldsymbol{b}=(6,0,3)$，$2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}=(4,4,5)$；$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(-3,2,0)$，则$(2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=4×(-3)+4×2+5×0=-12 + 8 + 0=-4$。（注：原答案解析计算错误，此处按正确计算过程修正）

(2)已知$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2,\sqrt{2},2\sqrt{3})$,$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(0,\sqrt{2},0)$,则$\boldsymbol{a}=$___________,$\boldsymbol{b}=$___________,$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$___________.

答案： $(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$;$(1,0,\sqrt{3})$;4
解析：$\boldsymbol{a}=\frac{1}{2}[(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})]=\frac{1}{2}(2+0,\sqrt{2}+\sqrt{2},2\sqrt{3}+0)=(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$；$\boldsymbol{b}=\frac{1}{2}[(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})]=\frac{1}{2}(2-0,\sqrt{2}-\sqrt{2},2\sqrt{3}-0)=(1,0,\sqrt{3})$；$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1×1+\sqrt{2}×0+\sqrt{3}×\sqrt{3}=1 + 0 + 3=4$。

活学活用 已知在空间直角坐标系中,$A(1,-2,4)$,$B(-2,3,0)$,$C(2,-2,-5)$.
(1)求$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}$,$\overrightarrow{CB}-2\overrightarrow{BA}$,$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.

答案： $(-3,5,-4)$;$(-9,13,-14)$;-15
解析：$\overrightarrow{AB}=(-3,5,-4)$，$\overrightarrow{AC}=(1,0,-9)$，$\overrightarrow{CA}=(-1,0,9)$，$\overrightarrow{CB}=(-4,5,5)$，$\overrightarrow{BA}=(3,-5,4)$。
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=(-3-1,5+0,-4+9)=(-4,5,5)$；
$\overrightarrow{CB}-2\overrightarrow{BA}=(-4-6,5+10,5-8)=(-10,15,-3)$；
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-3×1+5×0+(-4)×(-9)=-3 + 0 + 36=33$。（注：原答案解析计算错误，此处按正确计算过程修正）

(2)若点$M$满足$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$,求点$M$的坐标.

答案： $(\frac{1}{4},-\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$
解析：$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(-3,5,-4)+\frac{3}{4}(1,0,-9)=(-\frac{3}{2}+\frac{3}{4},\frac{5}{2}+0,-2-\frac{27}{4})=(-\frac{3}{4},\frac{5}{2},-\frac{35}{4})$，$M$的坐标为$A+\overrightarrow{AM}=(1-\frac{3}{4},-2+\frac{5}{2},4-\frac{35}{4})=(\frac{1}{4},\frac{1}{2},-\frac{19}{4})$。（注：原答案解析计算错误，此处按正确计算过程修正）

(3)若$\boldsymbol{p}=\overrightarrow{CA}$,$\boldsymbol{q}=\overrightarrow{CB}$,求$(\boldsymbol{p}+\boldsymbol{q})\cdot(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})$.

答案： -42
解析：$\boldsymbol{p}=(-1,0,9)$，$\boldsymbol{q}=(-4,5,5)$，$\boldsymbol{p}+\boldsymbol{q}=(-5,5,14)$，$\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q}=(3,-5,4)$，$(\boldsymbol{p}+\boldsymbol{q})\cdot(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})=-5×3+5×(-5)+14×4=-15-25+56=16$。（注：原答案解析计算错误，此处按正确计算过程修正）

例2 已知空间三点$A(-2,0,2)$,$B(-1,1,2)$,$C(-3,0,4)$,设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$.
(1)设向量$\boldsymbol{c}=(-\frac{3}{2},-1,1)$,试判断$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{c}$是否平行.

答案： 平行
解析：$\boldsymbol{a}=(1,1,0)$，$\boldsymbol{b}=(-1,0,2)$，$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(2+1,2-0,0-2)=(3,2,-2)$，$\boldsymbol{c}=(-\frac{3}{2},-1,1)$，$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=-2\boldsymbol{c}$，故平行。

(2)若$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$k\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$互相垂直,求$k$的值.

答案： $k=2$或$k=-1$
解析：$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(k-1,k,2)$，$k\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}=(k+2,k,-4)$，垂直则$(k-1)(k+2)+k^{2}-8=0$，即$k^{2}+k-2 + k^{2}-8=2k^{2}+k-10=0$，解得$k=2$或$k=-\frac{5}{2}$。（注：原答案解析计算错误，此处按正确计算过程修正）

活学活用 如图,在长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,$AB=BC$,$E$是侧棱$CC_{1}$上的任意一点,在线段$A_{1}C_{1}$上是否存在一个定点$P$,使得$D_{1}P$总垂直于$AE$?请说明理由.

答案： 存在，$P$为$A_{1}C_{1}$的中点
解析：以$D$为原点，$DA,DC,DD_{1}$为轴建系，设$AB=BC=a$，$DD_{1}=b$，$E(0,a,t)$，$A(a,0,0)$，$A_{1}(a,0,b)$，$C_{1}(0,a,b)$，设$P(x,y,b)$在$A_{1}C_{1}$上，$\overrightarrow{A_{1}C_{1}}=(-a,a,0)$，$\overrightarrow{A_{1}P}=(x-a,y,0)=\lambda(-a,a,0)$，则$x=a-\lambda a$，$y=\lambda a$。$\overrightarrow{D_{1}P}=(x,y,0)$，$\overrightarrow{AE}=(-a,a,t)$，$\overrightarrow{D_{1}P}\cdot\overrightarrow{AE}=-a(x)+a(y)+0=-a(a-\lambda a)+a(\lambda a)=-a^{2}+\lambda a^{2}+\lambda a^{2}=-a^{2}+2\lambda a^{2}=0$，解得$\lambda=\frac{1}{2}$，故$P(\frac{a}{2},\frac{a}{2},b)$为$A_{1}C_{1}$中点。