《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例4 已知$\triangle ABC$的三个顶点分别是$A(4,0)$，$B(0,2)$，$C(3,1)$．
(1)求$\triangle ABC$的外接圆$G$（$G$为圆心）的标准方程．

答案： $(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=5$
设圆方程$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F=0$，代入$A,B,C$得$\begin{cases}16 + 4D + F=0\\4 + 2E + F=0\\10 + 3D + E + F=0\end{cases}$，解得$D=-4$，$E=-2$，$F=0$。标准方程$(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=5$。

(2)若点$P$的坐标是$(6,0)$，点$Q$是圆$G$上的一个动点，点$M$满足$\overrightarrow{PM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PQ}$，求点$M$的轨迹方程，并说明轨迹的形状．

答案： $(x - \frac{10}{3})^{2}+(y - \frac{1}{3})^{2}=\frac{5}{9}$，轨迹是以$(\frac{10}{3},\frac{1}{3})$为圆心，$\frac{\sqrt{5}}{3}$为半径的圆
设$M(x,y)$，$Q(x_{0},y_{0})$，$\overrightarrow{PM}=(x - 6,y)$，$\overrightarrow{PQ}=(x_{0} - 6,y_{0})$。$x - 6=\frac{1}{3}(x_{0} - 6)$，$y=\frac{1}{3}y_{0}$，即$x_{0}=3x - 12$，$y_{0}=3y$。代入圆$G$方程得$(3x - 14)^{2}+(3y - 1)^{2}=5$，即$(x - \frac{14}{3})^{2}+(y - \frac{1}{3})^{2}=\frac{5}{9}$。

例5 已知圆$C:(x - 2)^{2}+(y - 3)^{2}=10$，$A(3,0)$．
(1)过点$A$作圆$C$的切线$m$，求直线$m$的方程．

答案： $x=3$或$3x + y - 9=0$
当斜率不存在时，$x=3$，圆心到直线距离$1=\sqrt{10}$，不是切线。
当斜率存在时，设$y=k(x - 3)$，圆心到直线距离$\frac{|2k - 3 - 3k|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\sqrt{10}$，$k^{2}-6k - 1=0$，$k=3\pm\sqrt{10}$，切线方程$y=(3\pm\sqrt{10})(x - 3)$。

(2)过点$A$作直线$l$与圆$C$相交，所得弦长不小于$4\sqrt{2}$，求直线$l$的斜率的取值范围．

答案： $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$
弦长$2\sqrt{10 - d^{2}}\geq4\sqrt{2}$，$d\leq\sqrt{2}$。设$l:y=k(x - 3)$，$\frac{|2k - 3 - 3k|}{\sqrt{k^{2}+1}}\leq\sqrt{2}$，$k^{2}-6k + 7\geq0$，$k\leq3 - \sqrt{2}$或$k\geq3 + \sqrt{2}$。