《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例1 求与直线$3x + 4y + 1 = 0$平行，且过点A(1,2)的直线的方程.

答案： $3x + 4y - 11 = 0$
解析：设方程$3x + 4y + c = 0$，代入点$(1,2)$得$3 + 8 + c = 0$，$c=-11$，方程为$3x + 4y - 11 = 0$。

例2 求经过点A(2,1)，且与直线$2x + y - 10 = 0$垂直的直线的方程.

答案： $x - 2y = 0$
解析：已知直线斜率为$-2$，垂直斜率为$\frac{1}{2}$，点斜式$y - 1=\frac{1}{2}(x - 2)$，化简得$x - 2y = 0$。

例3 求经过两条直线$l_1:x - 2y + 4 = 0$和$l_2:x + y - 2 = 0$的交点P，且与直线$l_3:3x - 4y + 5 = 0$垂直的直线l的方程.

答案： $4x + 3y - 6 = 0$
解析：解方程组得交点$P(0,2)$，$l_3$斜率为$\frac{3}{4}$，垂直斜率为$-\frac{4}{3}$，点斜式$y - 2=-\frac{4}{3}x$，化简得$4x + 3y - 6 = 0$。

例4 已知三角形三边所在的直线方程分别为$2x - y + 4 = 0,x + y - 7 = 0,2x - 7y - 14 = 0$，求$2x - 7y - 14 = 0$上的边对应的高所在直线的方程.

答案： $7x + 2y - 17 = 0$
解析：先求另两边交点$A(1,6)$，已知边斜率为$\frac{2}{7}$，高的斜率为$-\frac{7}{2}$，点斜式$y - 6=-\frac{7}{2}(x - 1)$，化简得$7x + 2y - 17 = 0$。

1. 方程$y = k(x - 2)$表示（ ）
A. 经过点(2,0)的所有直线
B. 经过点(2,0)且不垂直于y轴的所有直线
C. 经过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D. 经过点(2,0)且除去x轴的所有直线

答案： C
解析：方程为点斜式，斜率k存在，所以表示经过(2,0)且不垂直于x轴的直线。

2. 过两直线$l_1:x - 3y + 4 = 0$和$l_2:2x + y + 5 = 0$的交点和原点的直线方程为（ ）
A. $3x - 19y = 0$
B. $19x - 3y = 0$
C. $19x + 3y = 0$
D. $3x + 19y = 0$

答案： D
解析：解方程组得交点$(-\frac{19}{7},\frac{3}{7})$，过原点斜率为$-\frac{3}{19}$，方程$y=-\frac{3}{19}x$，即$3x + 19y = 0$。

3. 经过两直线$l_1:2x - y + 3 = 0$与$l_2:x + 2y - 1 = 0$的交点，且平行于直线$3x + 2y + 7 = 0$的直线方程是（ ）
A. $2x - 3y + 5 = 0$
B. $2x + 3y - 1 = 0$
C. $3x + 2y - 2 = 0$
D. $3x + 2y + 1 = 0$

答案： C
解析：解方程组得交点$(-1,1)$，设方程$3x + 2y + c = 0$，代入得$-3 + 2 + c = 0$，$c = 1$，方程为$3x + 2y + 1 = 0$（原答案有误，正确应为$3x + 2y + 1 = 0$，选项D）。

4. 过点A(2,3)且与直线$x + 2y - 6 = 0$平行的直线方程是______.

答案： $x + 2y - 8 = 0$
解析：设方程$x + 2y + c = 0$，代入点$(2,3)$得$2 + 6 + c = 0$，$c=-8$，方程为$x + 2y - 8 = 0$。

5. 直线$(m + n)x + (2m - n)y - m + 2n = 0(m,n\in\mathbf{R}$且m,n不同时为0）经过定点______.

答案： $(-1,1)$
解析：方程化为$(x + 2y - 1)m + (x - y + 2)n = 0$，令$\left\{\begin{array}{l}x + 2y - 1 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array}\right.$，解得$x=-1,y = 1$。