《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例3 设直线l的方程为$(m^2 - 2m - 3)x + (2m^2 + m - 1)y + 2m - 6 = 0$，根据下列条件分别确定m的值.
(1)l在x轴上的截距是-3.
(2)l的斜率是-1.

答案：
(1)$m = \frac{3}{2}$
解析：令$y = 0$，得$x=\frac{6 - 2m}{m^2 - 2m - 3}=-3$，且$m^2 - 2m - 3\neq0$，解得$m = \frac{3}{2}$。
(2)$m = -2$
解析：斜率$k=-\frac{m^2 - 2m - 3}{2m^2 + m - 1}=-1$，且$2m^2 + m - 1\neq0$，解得$m = -2$。

直线l的方程为$(a + 1)x + y + 2 - a = 0(a\in\mathbf{R})$.
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值.
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.

答案：
(1)$a = 2$或$a = 0$
解析：当$a = -1$时，$y + 3 = 0$不合题意；当$a\neq-1$，令$x = 0$得$y = a - 2$，令$y = 0$得$x=\frac{a - 2}{a + 1}$，由$a - 2=\frac{a - 2}{a + 1}$，解得$a = 2$或$a = 0$。
(2)$a\leq -1$
解析：直线方程化为$y = -(a + 1)x + a - 2$，不经过第二象限则$\left\{\begin{array}{l}-(a + 1)\geq0\\a - 2\leq0\end{array}\right.$，解得$a\leq -1$。

1. 直线$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$化成一般式方程为（ ）
A. $y = -\frac{4}{3}x + 4$
B. $y = -\frac{4}{3}(x - 3)$
C. $4x + 3y - 12 = 0$
D. $4x + 3y = 12$

答案： C
解析：等式两边同乘12得$4x + 3y = 12$，移项得$4x + 3y - 12 = 0$。

2. 直线$3x + 2y + 6 = 0$在y轴上的截距为b，则b=（ ）
A. 3
B. -2
C. 2
D. -3

答案： D
解析：令$x = 0$，得$2y + 6 = 0$，$y=-3$，所以截距$b=-3$。

3. 若方程$(2m^2 + m - 3)x + (m^2 - m)y - 4m + 1 = 0$表示一条直线，则实数m满足（ ）
A. $m\neq0$
B. $m\neq-\frac{3}{2}$
C. $m\neq1$
D. $m\neq1,m\neq-\frac{3}{2},m\neq0$

答案： C
解析：若不表示直线，则$\left\{\begin{array}{l}2m^2 + m - 3 = 0\\m^2 - m = 0\end{array}\right.$，解得$m = 1$，所以$m\neq1$。

4. 已知点$M(1,-2),N(m,2)$，若线段MN的垂直平分线的方程是$\frac{x}{2}+y = 1$，则实数m的值是______.

答案： 3
解析：MN中点$(\frac{1 + m}{2},0)$在垂直平分线上，代入得$\frac{1 + m}{4}+0 = 1$，解得$m = 3$。

5. 判断下列各组直线是平行还是垂直，并说明理由.
(1)$l_1:3x + 5y - 6 = 0,l_2:6x + 10y + 3 = 0$.
(2)$l_1:3x - 6y + 14 = 0,l_2:2x + y - 2 = 0$.
(3)$l_1:x = 2,l_2:x = 4$.
(4)$l_1:y = -3,l_2:x = 1$.

答案：
(1)平行
解析：$3×10 - 5×6 = 0$，且$3×3 - (-6)×6\neq0$，所以平行。
(2)垂直
解析：$3×2 + (-6)×1 = 0$，所以垂直。
(3)平行
解析：均为垂直于x轴的直线，所以平行。
(4)垂直
解析：$l_1$平行于x轴，$l_2$垂直于x轴，所以垂直。