《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

(2)求$x^{2}+y^{2}+2x+3$的最大值和最小值．

答案： 最大值$59$，最小值$11$
$x^{2}+y^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+y^{2}+2$，表示点$P(x,y)$到点$Q(-1,0)$距离的平方加2。
$|QC|=\sqrt{(3+1)^{2}+(3-0)^{2}}=5$，$|PQ|_{max}=5+2=7$，$|PQ|_{min}=5-2=3$。
最大值$7^{2}+2=51$，最小值$3^{2}+2=11$。

(3)求$x+y$的最大值和最小值．

答案： 最大值$6+2\sqrt{2}$，最小值$6-2\sqrt{2}$
设$t=x+y$，即$x+y-t=0$。圆心到直线距离$d=\frac{|3+3-t|}{\sqrt{2}}\leq2$。
$|t-6|\leq2\sqrt{2}$，解得$6-2\sqrt{2}\leq t\leq6+2\sqrt{2}$。

[多选题]已知实数$x,y$满足方程$x^{2}+y^{2}-4x+1=0$，则下列说法正确的是 （ ）
A. $y-x$的最大值为$\sqrt{6}-2$
B. $x^{2}+y^{2}$的最大值为$7+4\sqrt{3}$
C. $\frac{y}{x}$的最大值为$\sqrt{3}$
D. $x+y$的最大值为$2+\sqrt{3}$

答案： BCD
圆方程化为$(x-2)^{2}+y^{2}=3$，圆心$C(2,0)$，半径$r=\sqrt{3}$。
A. 设$t=y-x$，$d=\frac{|2+t|}{\sqrt{2}}\leq\sqrt{3}$，$t_{max}=\sqrt{6}-2$，正确。
B. $x^{2}+y^{2}$表示到原点距离平方，$|OC|=2$，最大值$(2+\sqrt{3})^{2}=7+4\sqrt{3}$，正确。
C. 设$k=\frac{y}{x}$，$d=\frac{|2k|}{\sqrt{k^{2}+1}}\leq\sqrt{3}$，$k_{max}=\sqrt{3}$，正确。
D. 设$t=x+y$，$d=\frac{|2-t|}{\sqrt{2}}\leq\sqrt{3}$，$t_{max}=2+\sqrt{6}$，错误。

1. 圆$x^{2}+y^{2}=4$上的点到直线$4x-3y+25=0$的距离的取值范围是 （ ）
A. $[3,7]$
B. $[1,9]$
C. $[0,5]$
D. $[0,3]$

答案： A
圆心$(0,0)$，半径$r=2$，圆心到直线距离$d=\frac{25}{5}=5$。
距离范围$[d-r,d+r]=[3,7]$。

2. 已知$O$为原点，点$P$在单位圆上，过点$P$作圆$C:(x-4)^{2}+(y-3)^{2}=4$的切线，切点为$Q$，则$|PQ|$的最小值为 （ ）
A. $\sqrt{3}$
B. $2\sqrt{3}$
C. 2
D. 4

答案： B
$|PQ|=\sqrt{|PC|^{2}-r^{2}}=\sqrt{|PC|^{2}-4}$，$|PC|$最小值为$|OC|-1=5-1=4$。
$|PQ|_{min}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$。

3. 已知点$M(x,y)$在圆$x^{2}+(y-2)^{2}=1$上运动，则$\frac{y}{x}$的取值范围是 （ ）
A. $[\sqrt{3},+\infty)$
B. $(-\infty,-\sqrt{3}]$
C. $(-\infty,-\sqrt{3}]\cup[\sqrt{3},+\infty)$
D. $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$

答案： D
圆心$(0,2)$，半径$r=1$。设$k=\frac{y}{x}$，即$kx-y=0$。
圆心到直线距离$d=\frac{2}{\sqrt{k^{2}+1}}\leq1$，$\sqrt{k^{2}+1}\geq2$，$k^{2}\geq3$，$k\in(-\infty,-\sqrt{3}]\cup[\sqrt{3},+\infty)$。

4. 已知圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}+4x-4y=0$，动点$P$在圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}-4x-12=0$上，求$\triangle PC_{1}C_{2}$面积的最大值．

答案： 8
$C_{1}(-2,2)$，$C_{2}(2,0)$，$|C_{1}C_{2}|=\sqrt{(4)^{2}+(-2)^{2}}=2\sqrt{5}$。
$C_{2}$半径$r=4$，$P$到$C_{1}C_{2}$距离最大值为$r=4$。
面积最大值$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×4=4\sqrt{5}$。