《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例1 (1)已知直线$l_{1}:(a-2)x+5y-3=0$，$l_{2}:(a-2)x+ay-5=0$，则“$l_{1}// l_{2}$”是“$a=2$”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： B
当$a=2$时，$l_{1}:5y-3=0$，$l_{2}:2y-5=0$，平行。
当$l_{1}// l_{2}$时，$(a-2)a-5(a-2)=0$，$(a-2)(a-5)=0$，$a=2$或$a=5$。
“$l_{1}// l_{2}$”不能推出“$a=2$”，“$a=2$”能推出“$l_{1}// l_{2}$”，必要不充分条件。

(2)设直线$l_{1}:x\sin\theta -y\cos\theta =1$，$l_{2}:\sqrt{3}x + y -1=0$，若$l_{1}\perp l_{2}$，则$\theta$可以为 （ ）
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{2\pi}{3}$
D. $\frac{5\pi}{6}$

答案： D
$k_{1}=\tan\theta$，$k_{2}=-\sqrt{3}$。$l_{1}\perp l_{2}$则$k_{1}k_{2}=-1$，$\tan\theta×(-\sqrt{3})=-1$，$\tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\theta=\frac{\pi}{6}+k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$。$\theta=\frac{5\pi}{6}$时，$\tan\theta=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，不满足，应为$\theta=\frac{\pi}{6}$，选项A。