《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

活学活用 在棱长为 2 的正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，E，F 分别是$DD_1$，BD 的中点，点 G 在棱 CD 上，且$CG=\frac{1}{3}CD$．
(1)证明：$EF\perp B_1C$．
(2)求 EF 与$C_1G$所成角的余弦值．

答案：
(1)以 D 为原点建系，$D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,1,0),B_1(2,2,2),C(0,2,0)$
$\overrightarrow{EF}=(1,1,-1),\overrightarrow{B_1C}=(-2,0,-2)$，$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{B_1C}=-2 + 0 + 2=0$，故$EF\perp B_1C$
(2)$G(0,\frac{4}{3},0),C_1(0,2,2)$，$\overrightarrow{C_1G}=(0,-\frac{2}{3},-2)$
$|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{3},|\overrightarrow{C_1G}|=\frac{2\sqrt{10}}{3}$，$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{C_1G}=0 - \frac{2}{3} + 2=\frac{4}{3}$
$\cos\theta=\frac{\frac{4}{3}}{\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{10}}{3}}=\frac{\sqrt{30}}{15}$

1. 已知$\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$是空间的一个基底，则可以与向量$\boldsymbol{p}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{q}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$构成基底的向量是（ ）
A. $\boldsymbol{a}$
B. $\boldsymbol{b}$
C. $\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$
D. $\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{c}$

答案： D

2. 在正方体$ABCD - A'B'C'D'$中，$O_1,O_2,O_3$分别是$AC,A'B',AD'$的中点，以$\{\overrightarrow{AO_1},\overrightarrow{AO_2},\overrightarrow{AO_3}\}$为基底，若$\overrightarrow{AC'}=x\overrightarrow{AO_1}+y\overrightarrow{AO_2}+z\overrightarrow{AO_3}$，则$x + y + z=$（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. 2

答案： B

3. 如图，在长方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$AA_1=AB = 2$，$AD = 1$，E，F，G 分别是 DC，AB，$CC_1$的中点，则异面直线$A_1E$与 GF 所成角的余弦值为（ ）
A. 0
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{\sqrt{15}}{5}$

答案： C

4. 如图，在正方体$OABC - O_1A_1B_1C_1$中，点 G 为$\triangle ACO_1$的重心，若$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{OO_1}=\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{OG}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}+z\boldsymbol{c}$，则$x + y + z=$___．

答案： 1

5. 如图，在空间四边形 OABC 中，G，H 分别是$\triangle ABC$，$\triangle OBC$的重心，求证：$GH// OA$．

答案： 设$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$，$\overrightarrow{OH}=\frac{1}{3}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$，$\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OG}=-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}$，故$GH// OA$