《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

活学活用：已知$F_1,F_2$是椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a ＞ b ＞ 0)$的两个焦点，|F₁F₂|=2，M$(2,\frac{2\sqrt{5}}{5})$为C上一点.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)若P为C上一点，且PF₁⊥F₁F₂，求△F₁PF₂的面积.

答案：
(1)$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$
解析：|F₁F₂|=2c=2得c=1，M$(2,\frac{2\sqrt{5}}{5})$代入椭圆方程$\frac{4}{a^2}+\frac{4×5}{25b^2}=1$，即$\frac{4}{a^2}+\frac{4}{5b^2}=1$，又$a^2 - b^2 = 1$，解得$a^2=5$，$b^2=4$，方程$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$。
(2)$\frac{8\sqrt{5}}{5}$
解析：F₁(-1,0)，PF₁⊥F₁F₂，则P$(-1,y)$，代入椭圆方程得$\frac{1}{5}+\frac{y^2}{4}=1$，y² = $\frac{16}{5}$，|y| = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$，面积S = $\frac{1}{2}×2c×|y| = 1×\frac{4\sqrt{5}}{5}$ = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$（原答案$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，修正：应为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）。

当堂自评1：已知P为椭圆$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$上一点，$F_1,F_2$分别是椭圆C的左右焦点，若点P的横坐标为$\sqrt{2}$，则△PF₁F₂的面积为（ ）
A.$\sqrt{3}$ B.2$\sqrt{2}$ C.2$\sqrt{3}$ D.4

答案： C
解析：椭圆$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，c = 2，$F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$。P横坐标$\sqrt{2}$，代入得$y^2 = 4(1 - \frac{2}{8}) = 3$，|y| = $\sqrt{3}$，面积S = $\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}$ = 2$\sqrt{3}$，选C。

当堂自评2：已知椭圆$C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的左右焦点分别为$F_1,F_2$，过点$F_2$的直线l与椭圆C的一个交点为A，若|AF₂|=4，则△AF₁F₂的面积为（ ）
A.2$\sqrt{3}$ B.$\sqrt{13}$ C.4 D.$\sqrt{15}$

答案： A
解析：椭圆a=3，|AF₁| + |AF₂|=6，|AF₂|=4得|AF₁|=2，|F₁F₂|=4，由余弦定理cos∠F₁AF₂ = $\frac{4 + 16 - 16}{2×2×4}$ = $\frac{1}{4}$，sin∠F₁AF₂ = $\frac{\sqrt{15}}{4}$，面积S = $\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{15}}{4}$ = $\sqrt{15}$（原答案A，修正：应为D，$\sqrt{15}$）。

当堂自评3：设$F_1,F_2$为椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$的两个焦点，点P在此椭圆上，且$\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=-8$，则△PF₁F₂的面积为（ ）
A.4 B.4$\sqrt{2}$ C.4$\sqrt{3}$ D.8

答案： C
解析：椭圆a=4，c=2$\sqrt{3}$，设P$(x,y)$，$\overrightarrow{PF_1}=(-2\sqrt{3}-x,-y)$，$\overrightarrow{PF_2}=(2\sqrt{3}-x,-y)$，$\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=x² - 12 + y² = -8$，x² + y²=4，又$\frac{x²}{16}+\frac{y²}{4}=1$，联立得y²=3，|y|=$\sqrt{3}$，面积S = $\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×\sqrt{3}$=6（原答案C，修正：应为6，无正确选项，可能题目数据有误）。

当堂自评4：已知$F_1,F_2$是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$的两个焦点，点P在该椭圆上，若|PF₁| - |PF₂|=2，则△PF₁F₂的面积是.

答案： $\sqrt{3}$
解析：椭圆a=2，|PF₁| + |PF₂|=4，与|PF₁| - |PF₂|=2联立得|PF₁|=3，|PF₂|=1，|F₁F₂|=2$\sqrt{2}$，由余弦定理cosθ = $\frac{9 + 1 - 8}{2×3×1}$ = $\frac{1}{3}$，sinθ = $\frac{2\sqrt{2}}{3}$，面积S = $\frac{1}{2}×3×1×\frac{2\sqrt{2}}{3}$ = $\sqrt{2}$（原答案$\sqrt{3}$，修正：应为$\sqrt{2}$）。

当堂自评5：已知$F_1,F_2$是椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a ＞ b ＞ 0)$的两个焦点，P为椭圆C上一点，且$\overrightarrow{PF_1}\perp\overrightarrow{PF_2}$，若△PF₁F₂的面积为9，求b.

答案： 3
解析：$\overrightarrow{PF_1}\perp\overrightarrow{PF_2}$，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，m + n = 2a，m² + n² = 4c²，面积$\frac{1}{2}$mn=9，mn=18。(m + n)² = 4a² = m² + n² + 2mn = 4c² + 36，得$a² - c² = 9$，即$b²=9$，b=3。