《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

活学活用 已知一个圆过点$A(4,2)$，$B(-1,3)$，它与$x$轴的交点坐标分别为$(x_{1},0)$，$(x_{2},0)$，与$y$轴的交点坐标分别为$(0,y_{1})$，$(0,y_{2})$，且$x_{1}+x_{2}+y_{1}+y_{2}=2$，求此圆的方程。

答案： $x^{2}+y^{2}-2x - 2y - 8=0$
解析：设圆的方程$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F=0$，与$x$轴交点$x_{1}+x_{2}=-D$，与$y$轴交点$y_{1}+y_{2}=-E$，则$-D - E=2$。将$A,B$代入得$\left\{\begin{array}{l}16 + 4 + 4D + 2E + F=0\\1 + 9 - D + 3E + F=0\\-D - E=2\end{array}\right.$，解得$D=-2,E=-2,F=-8$，方程$x^{2}+y^{2}-2x - 2y - 8 = 0$。

例3 点$A(2,0)$是圆$x^{2}+y^{2}=4$上的定点，点$B(1,1)$是圆内一点，$P,Q$为圆上的动点。
(1)求线段$AP$的中点$M$的轨迹方程。
(2)若$\angle PBQ=90°$，求线段$PQ$的中点$N$的轨迹方程。

答案：
(1)$(x - 1)^{2}+y^{2}=1$；
(2)$(x-\frac{1}{2})^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{2}$
解析：
(1)设$M(x,y)$，则$P(2x - 2,2y)$在圆上，$(2x - 2)^{2}+(2y)^{2}=4$，化简$(x - 1)^{2}+y^{2}=1$；
(2)设$N(x,y)$，则$ON\perp PQ$，$|PN|=|BN|$，$|OP|^{2}=|ON|^{2}+|PN|^{2}=|ON|^{2}+|BN|^{2}$，即$4=x^{2}+y^{2}+(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}$，化简$(x-\frac{1}{2})^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{2}$。