《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例1（1）设直线$ l $过坐标原点$ O $，它的倾斜角为$ \alpha $，如果将$ l $绕坐标原点$ O $逆时针旋转$ 45^{\circ} $，得到直线$ l_{1} $，那么（ ）
A. $ l_{1} $的倾斜角为$ \alpha + 45^{\circ} $
B. $ l_{1} $的倾斜角为$ \alpha - 135^{\circ} $
C. $ l_{1} $的倾斜角为$ 135^{\circ}-\alpha $
D. 当$ 0^{\circ}\leq\alpha ＜ 135^{\circ} $时，$ l_{1} $的倾斜角为$ \alpha + 45^{\circ} $；当$ 135^{\circ}\leq\alpha ＜ 180^{\circ} $时，$ l_{1} $的倾斜角为$ \alpha - 135^{\circ} $

答案： D
解析：当$ 0^{\circ}\leq\alpha ＜ 135^{\circ} $时，逆时针旋转$ 45^{\circ} $后，倾斜角$ \alpha + 45^{\circ} $仍在$ 0^{\circ}$到$ 180^{\circ} $范围内，所以$ l_{1} $的倾斜角为$ \alpha + 45^{\circ} $；当$ 135^{\circ}\leq\alpha ＜ 180^{\circ} $时，$ \alpha + 45^{\circ}\geq 180^{\circ} $，此时倾斜角应为$ \alpha + 45^{\circ}-180^{\circ}=\alpha - 135^{\circ} $，所以选项D正确．

例1（2）下列图中标出的直线的倾斜角中正确的有______个．

答案： 1
解析：根据倾斜角定义，直线向上方向与$ x $轴正方向所成的角为倾斜角．图1中角的边不是直线向上方向，错误；图2正确；图3是直线向下方向与$ x $轴正方向所成角，错误；图4角的边不是$ x $轴正方向，错误，所以正确的有1个．

活学活用
已知直线$ l $向上的方向与$ y $轴正向所成的角为$ 30^{\circ} $，则直线$ l $的倾斜角为______．

答案： $ 60^{\circ} $或$ 120^{\circ} $
解析：当直线$ l $向上方向在$ y $轴右侧时，倾斜角为$ 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ} $；当直线$ l $向上方向在$ y $轴左侧时，倾斜角为$ 90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ} $，所以直线$ l $的倾斜角为$ 60^{\circ} $或$ 120^{\circ} $．

活学活用
经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角$ \alpha $．
（1）$ A(2,3),B(4,5) $．
（2）$ C(-2,3),D(2,-1) $．
（3）$ P(-3,1),Q(-3,10) $．

答案： （1）存在，斜率为1，倾斜角$ \alpha = 45^{\circ} $
解析：因为$ x_{A}\neq x_{B} $，所以斜率存在，$ k=\frac{5 - 3}{4 - 2}=\frac{2}{2}=1 $，$ \tan\alpha = 1 $，又$ 0^{\circ}\leq\alpha ＜ 180^{\circ} $，所以$ \alpha = 45^{\circ} $．
（2）存在，斜率为-1，倾斜角$ \alpha = 135^{\circ} $
解析：因为$ x_{C}\neq x_{D} $，所以斜率存在，$ k=\frac{-1 - 3}{2 - (-2)}=\frac{-4}{4}=-1 $，$ \tan\alpha=-1 $，又$ 0^{\circ}\leq\alpha ＜ 180^{\circ} $，所以$ \alpha = 135^{\circ} $．
（3）不存在
解析：因为$ x_{P}=x_{Q}=-3 $，所以直线垂直于$ x $轴，斜率不存在．

例2 根据下列条件求直线$ l $的斜率：
（1）直线$ l $经过两点$ A(-1,4),B(2,-2) $．
（2）直线$ l $的倾斜角等于斜率为$ \sqrt{3} $的直线的倾斜角的2倍．
（3）直线$ l $的方向向量的坐标为$ (\frac{1}{2},-\sqrt{2}) $．

答案： （1）-2
解析：$ k=\frac{-2 - 4}{2 - (-1)}=\frac{-6}{3}=-2 $．
（2）$ -\sqrt{3} $
解析：设斜率为$ \sqrt{3} $的直线的倾斜角为$ \theta $，则$ \tan\theta=\sqrt{3} $，$ \theta = 60^{\circ} $，所以直线$ l $的倾斜角为$ 2\theta = 120^{\circ} $，$ k=\tan120^{\circ}=-\sqrt{3} $．
（3）$ -2\sqrt{2} $
解析：方向向量为$ (\frac{1}{2},-\sqrt{2}) $，所以斜率$ k=\frac{-\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=-2\sqrt{2} $．

例3 已知两点$ A(-3,4),B(3,2) $，过点$ P(1,0) $的直线$ l $与线段$ AB $有公共点．
（1）求直线$ l $的斜率$ k $的取值范围．
（2）求直线$ l $的倾斜角$ \alpha $的取值范围．

答案： （1）$ (-\infty,-1]\cup[\frac{1}{2},+\infty) $
解析：$ k_{PA}=\frac{4 - 0}{-3 - 1}=\frac{4}{-4}=-1 $，$ k_{PB}=\frac{2 - 0}{3 - 1}=\frac{2}{2}=1 $，因为直线$ l $与线段$ AB $有公共点，所以$ k\leq -1 $或$ k\geq1 $，即斜率$ k $的取值范围是$ (-\infty,-1]\cup[1,+\infty) $．
（2）$ [45^{\circ},135^{\circ}] $
解析：当$ k\geq1 $时，$ \tan\alpha\geq1 $，$ 45^{\circ}\leq\alpha ＜ 90^{\circ} $；当$ k\leq -1 $时，$ \tan\alpha\leq -1 $，$ 90^{\circ}＜\alpha\leq135^{\circ} $，又当$ \alpha = 90^{\circ} $时，直线$ x = 1 $与线段$ AB $有公共点，所以倾斜角$ \alpha $的取值范围是$ [45^{\circ},135^{\circ}] $．