《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例4 求证：不论λ为何实数，直线$(\lambda + 2)x - (\lambda - 1)y = -6\lambda - 3$都恒过一定点.

答案： 定点$(-3,3)$
解析：方程化为$(x - y + 6)\lambda + 2x + y + 3 = 0$，令$\left\{\begin{array}{l}x - y + 6 = 0\\2x + y + 3 = 0\end{array}\right.$，解得$x=-3,y = 3$，所以恒过定点$(-3,3)$。

已知$3a + 2b = 2$，则直线$ax + by - 10 = 0$必过定点______.

答案： $(15,10)$
解析：由$3a + 2b = 2$得$b = 1-\frac{3}{2}a$，代入直线方程$ax+(1-\frac{3}{2}a)y - 10 = 0$，整理得$a(x-\frac{3}{2}y)+(y - 10)=0$，令$\left\{\begin{array}{l}x-\frac{3}{2}y = 0\\y - 10 = 0\end{array}\right.$，解得$x = 15,y = 10$。

1. 两条直线$l_1:2x - y - 1 = 0$与$l_2:x + 3y - 11 = 0$的交点坐标为（ ）
A. $(3,2)$
B. $(2,3)$
C. $(-2,-3)$
D. $(-3,-2)$

答案： B
解析：解方程组$\left\{\begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\x + 3y - 11 = 0\end{array}\right.$，由第一个方程得$y = 2x - 1$，代入第二个方程解得$x = 2,y = 3$。

2. 不论m为何实数，直线$l:(m - 1)x + (2m - 3)y + m = 0$恒过定点（ ）
A. $(-3,-1)$
B. $(-2,-1)$
C. $(-3,1)$
D. $(-2,1)$

答案： A
解析：方程化为$(x + 2y + 1)m - x - 3y = 0$，令$\left\{\begin{array}{l}x + 2y + 1 = 0\\-x - 3y = 0\end{array}\right.$，解得$x=-3,y=-1$。

3. 若直线$y = x + 2k + 1$与直线$y = -\frac{1}{2}x + 2$的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（ ）
A. $(-\frac{5}{2},\frac{1}{2})$
B. $(-\frac{5}{2},\frac{1}{2})$
C. $[-\frac{5}{2},-\frac{1}{2}]$
D. $[-\frac{5}{2},\frac{1}{2}]$

答案： A
解析：解方程组得交点$(\frac{2 - 4k}{3},\frac{2k + 5}{3})$，由$\left\{\begin{array}{l}\frac{2 - 4k}{3}＞0\frac{2k + 5}{3}＞0\end{array}\right.$，解得$-\frac{5}{2}＜k＜\frac{1}{2}$。

4. 记直线$x - 2y + 4 = 0$和$x + 3y - 2 = 0$的交点为A，则经过A且与$x - 2y + 4 = 0$垂直的直线方程为______.

答案： $2x + y - 2 = 0$
解析：解方程组得交点$A(-\frac{8}{5},\frac{6}{5})$，已知直线斜率为$\frac{1}{2}$，垂直斜率为$-2$，点斜式$y - \frac{6}{5}=-2(x + \frac{8}{5})$，化简得$2x + y - 2 = 0$。