《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

活学活用
已知圆$O_1:x^2 + y^2 - 8\sqrt{2}x - 8\sqrt{2}y + 48 = 0$，圆$O_2$过点$A(0,-4)$，若圆$O_2$与圆$O_1$相切于点$B(2\sqrt{2},2\sqrt{2})$，求圆$O_2$的方程.

答案： $(x - \sqrt{2})^2 + (y + \sqrt{2})^2 = 16$
圆$O_1$：$(x - 4\sqrt{2})^2 + (y - 4\sqrt{2})^2 = (4\sqrt{2})^2$，圆心$O_1(4\sqrt{2},4\sqrt{2})$，半径$4\sqrt{2}$。$O_1$、$B$、$O_2$共线，直线$O_1B$斜率为$\frac{2\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2} - 4\sqrt{2}} = 1$，方程$y - 4\sqrt{2} = x - 4\sqrt{2}$，即$y = x$。设$O_2(t,t)$，则$|O_2B| = |O_2A|$，$\sqrt{(t - 2\sqrt{2})^2 + (t - 2\sqrt{2})^2} = \sqrt{t^2 + (t + 4)^2}$，平方得$2(t - 2\sqrt{2})^2 = t^2 + (t + 4)^2$，解得$t = \sqrt{2}$，半径$r = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2} + 4)^2} = 4\sqrt{2}$，方程$(x - \sqrt{2})^2 + (y - \sqrt{2})^2 = 32$。

当堂自评
1. 圆$(x - 4)^2 + y^2 = 9$和圆$x^2 + (y - 3)^2 = 4$的公切线有（ ）
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条

答案： C
圆心距$d = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = 5$，半径$r_1 = 3$，$r_2 = 2$，$d = r_1 + r_2$，外切，有3条公切线。

2. 若圆$C_1:x^2 + y^2 = 1$与圆$C_2:x^2 + y^2 - 8x - 6y + m = 0$内切，则$m = $（ ）
A. 29
B. 9
C. -11
D. 19

答案： C
圆$C_2$：$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25 - m$，圆心$(4,3)$，半径$r_2 = \sqrt{25 - m}$。圆心距$d = 5$，内切$|r_2 - 1| = 5$，$r_2 = 6$（$r_2 ＞ 0$），$\sqrt{25 - m} = 6$，$25 - m = 36$，$m = -11$。

3. [多选题]已知圆$C:x^2 + y^2 - 6x = 0$，则下述结论正确的是（ ）
A. 圆C的半径$r = 3$
B. 点$(1,2\sqrt{2})$在圆C的内部
C. 圆C与圆$x^2 + y^2 + 2x + 4y - 6 = 0$的公共弦所在直线方程为$4x + 2y - 3 = 0$
D. 圆$(x + 1)^2 + y^2 = 4$与圆C相交

答案： ABD
圆$C$：$(x - 3)^2 + y^2 = 9$，半径$r = 3$，A正确。点$(1,2\sqrt{2})$到圆心距离$\sqrt{(1 - 3)^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 8} = \sqrt{12} ＜ 3$，在内部，B正确。两圆方程相减得$-8x - 4y + 6 = 0$，即$4x + 2y - 3 = 0$，C正确。圆$(x + 1)^2 + y^2 = 4$圆心$(-1,0)$，半径2，圆心距$4$，$3 - 2 ＜ 4 ＜ 3 + 2$，相交，D正确。

4. 已知圆$C_1:x^2 + y^2 - 6x - 7 = 0$与圆$C_2:x^2 + y^2 - 6y - 27 = 0$相交于A,B两点，则线段AB的中垂线方程为______.

答案： x - y + 3 = 0
两圆圆心$C_1(3,0)$，$C_2(0,3)$，AB中垂线即$C_1C_2$所在直线，斜率$\frac{3 - 0}{0 - 3} = -1$，方程$y - 0 = -1(x - 3)$，即$x + y - 3 = 0$。

5. 证明圆$C_1:x^2 + y^2 - 4x + 6y + 5 = 0$与圆$C_2:x^2 + y^2 - 6x + 4y + 11 = 0$内切，并求切点坐标以及两个圆的公切线方程.

答案： 证明：圆$C_1$：$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 8$，圆心$(2,-3)$，半径$r_1 = 2\sqrt{2}$；圆$C_2$：$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 2$，圆心$(3,-2)$，半径$r_2 = \sqrt{2}$。圆心距$d = \sqrt{(3 - 2)^2 + (-2 + 3)^2} = \sqrt{2} = r_1 - r_2$，内切。
切点坐标：$(\frac{2 + 3}{2},\frac{-3 + (-2)}{2}) = (\frac{5}{2},-\frac{5}{2})$
公切线方程：两圆方程相减得$-2x + 2y - 6 = 0$，即$x - y + 3 = 0$。