《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例3 已知x轴上一定点$A(1,0)$，Q为椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$上任意一点，求线段AQ的中点M的轨迹方程。

答案： $(x-\frac{1}{2})^{2}+4y^{2}=1$
解析：设$M(x,y)$，$Q(x_{0},y_{0})$，则$\begin{cases}x=\frac{x_{0}+1}{2}\\y=\frac{y_{0}}{2}\end{cases}$，解得$x_{0}=2x-1$，$y_{0}=2y$，代入椭圆方程$\frac{(2x-1)^{2}}{4}+(2y)^{2}=1$，化简得$(x-\frac{1}{2})^{2}+4y^{2}=1$。

活学活用：如图，设P是圆$x^{2}+y^{2}=25$上的动点，点D是P在x轴上的射影，M是线段PD上一点，且$|MD|=\frac{4}{5}|PD|$。当点P在圆上运动时，动点M的轨迹方程是______。

答案： $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$
解析：设$M(x,y)$，$P(x,y_{0})$，D(x,0)，$|PD|=|y_{0}|$，$|MD|=|y|$，由$|MD|=\frac{4}{5}|PD|$得$|y|=\frac{4}{5}|y_{0}|$，$y_{0}=\pm\frac{5}{4}y$，代入圆方程$x^{2}+(\pm\frac{5}{4}y)^{2}=25$，化简得$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$。

当堂自评1：在$\triangle ABC$中，$B(-2,0),C(2,0)$，$|AB|+|AC|=6$，则顶点A的轨迹方程是（ ）
A. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1(x\neq\pm3)$ B. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1(x\neq\pm2)$ C. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1(x\neq\pm3)$ D. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1(x\neq\pm2)$

答案： A
解析：$2a=6$，$a=3$，$c=2$，$b^{2}=9-4=5$，轨迹为椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$（$x\neq\pm3$，A，B，C不共线）。

当堂自评2：在平面直角坐标系中，已知定点$A(0,-\sqrt{2}),B(0,\sqrt{2})$，直线PA与直线PB的斜率之积为-2，则动点P的轨迹方程为（ ）
A. $\frac{y^{2}}{2}+x^{2}=1$ B. $\frac{y^{2}}{2}+x^{2}=1(x\neq0)$ C. $\frac{y^{2}}{2}-x^{2}=1$ D. $\frac{y^{2}}{2}+x^{2}=1(y\neq0)$

答案： B
解析：设$P(x,y)$，$k_{PA}=\frac{y+\sqrt{2}}{x}$，$k_{PB}=\frac{y-\sqrt{2}}{x}$，则$\frac{y^{2}-2}{x^{2}}=-2$，化简得$\frac{y^{2}}{2}+x^{2}=1$（$x\neq0$，斜率存在）。

当堂自评3：已知$F_{1},F_{2}$分别为椭圆$E:\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，点G是$\triangle PF_{1}F_{2}$的重心，则点G的轨迹方程为（ ）
A. $x^{2}+9y^{2}=1$ B. $x^{2}+9y^{2}=1(y\neq0)$ C. $\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{9}=1$ D. $\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{9}=1(y\neq0)$

答案： D
解析：$F_{1}(-2\sqrt{2},0),F_{2}(2\sqrt{2},0)$，设$P(x_{0},y_{0})$，$G(x,y)$，则$x=\frac{x_{0}-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{3}=\frac{x_{0}}{3}$，$y=\frac{y_{0}}{3}$，$x_{0}=3x$，$y_{0}=3y$，代入椭圆方程$\frac{(3x)^{2}}{9}+(3y)^{2}=1$，化简得$x^{2}+9y^{2}=1$（$y\neq0$，P不与$F_{1}F_{2}$共线）。

当堂自评4：设动圆C与$O_{1}:(x-1)^{2}+y^{2}=1$外切并与$O_{2}:(x+1)^{2}+y^{2}=16$内切，则动圆C圆心的轨迹方程为______。

答案： $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$
解析：设圆C半径为r，$O_{1}(1,0)$，$r_{1}=1$；$O_{2}(-1,0)$，$r_{2}=4$，则$|CO_{1}|=r+1$，$|CO_{2}|=4-r$，$|CO_{1}|+|CO_{2}|=5＞2$，轨迹为椭圆，$a=\frac{5}{2}$，$c=1$，$b^{2}=\frac{25}{4}-1=\frac{21}{4}$，方程为$\frac{x^{2}}{\frac{25}{4}}+\frac{y^{2}}{\frac{21}{4}}=1$，即$\frac{4x^{2}}{25}+\frac{4y^{2}}{21}=1$（注：原答案可能为$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$，此处按标准过程修正为$\frac{4x^{2}}{25}+\frac{4y^{2}}{21}=1$，若题目中$O_{2}$半径为4，$|CO_{1}|+|CO_{2}|=5$，$a=\frac{5}{2}$，正确方程如上）。