《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

如图,在空间中,取一定点$O$作为___________,那么空间中任意一点$P$就可以用向量$\overrightarrow{OP}$来表示,向量$\overrightarrow{OP}$称为点$P$的___________.

答案： 原点;位置向量

如图,$\boldsymbol{a}$是直线$l$的方向向量,在直线$l$上取$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$,取定空间中的任意一点$O$,可以得到点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$,使$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\boldsymbol{a}$①,将$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$代入①式,得$\overrightarrow{OP}=$___________.

答案： $\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$

如图1,取定空间任意一点$O$,可以得到,空间一点$P$位于平面$ABC$内的充要条件是存在实数$x,y$,使$\overrightarrow{OP}=$___________.

答案： $\overrightarrow{OA}+x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$

判断正误（请在括号中打“√”或“×”）
(1)零向量能作为直线的方向向量. ( )

答案： ×
解析：零向量方向任意，不能作为直线的方向向量，故错误。

(2)直线的方向向量是唯一的. ( )

答案： ×
解析：直线的方向向量有无数个，平行向量均可，故错误。

(3)平面$\alpha$的所有法向量都平行,且同向. ( )

答案： ×
解析：平面的法向量方向相反的也平行，故错误。

(4)若$\boldsymbol{n}$是平面$\alpha$的一个法向量,则$\lambda\boldsymbol{n}(\lambda\in\mathbf{R})$也是平面$\alpha$的一个法向量. ( )

答案： ×
解析：$\lambda=0$时为零向量，不是法向量，故错误。

(5)在空间直角坐标系中,$\boldsymbol{n}=(0,-2,0)$是坐标平面$Oxz$的一个法向量. ( )

答案： √
解析：平面$Oxz$的法向量为$(0,1,0)$，$\boldsymbol{n}=-2(0,1,0)$，故正确。