《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

我们把方程______称为过点$ P_{0}(x_{0},y_{0}) $，斜率为$ k $的直线$ l $的方程，方程$ y - y_{0}=k(x - x_{0}) $由直线上一个定点$ (x_{0},y_{0}) $及该直线的斜率$ k $确定，我们把它叫做直线的______，简称点斜式．

答案： $ y - y_{0}=k(x - x_{0}) $；点斜式方程

我们把直线$ l $与$ y $轴的交点$ (0,b) $的纵坐标$ b $叫做直线$ l $在$ y $轴上的______．方程$ y = kx + b $由直线的斜率$ k $与它在$ y $轴上的截距$ b $确定，我们把方程$ y = kx + b $叫做直线的______，简称______．

答案： 截距；斜截式方程；斜截式

判断正误 （请在括号中打“√”或“×”）
直线的点斜式方程
（1）$ y $轴所在直线的方程为$ y = 0 $．（ ）
（2）直线$ y - 10 = k(x + 6) $恒过定点$ (-6,10) $．（ ）
（3）直线的点斜式方程也可写成$ \frac{y - y_{0}}{x - x_{0}}=k $．（ ）
（4）经过点$ P_{0}(x_{0},y_{0}) $的所有直线都能用点斜式方程来表示．（ ）
直线的斜截式方程
（5）直线在$ y $轴上的截距是直线与$ y $轴的交点到原点的距离．（ ）
（6）直线$ y = kx - b $在$ y $轴上的截距为$ b $．（ ）

答案： （1）×
解析：$ y $轴所在直线的方程为$ x = 0 $，所以该说法错误．
（2）√
解析：令$ x + 6 = 0 $，$ x=-6 $，则$ y - 10 = 0 $，$ y = 10 $，所以恒过定点$ (-6,10) $，该说法正确．
（3）×
解析：当$ x = x_{0} $时，$ \frac{y - y_{0}}{x - x_{0}}=k $无意义，而点斜式方程$ y - y_{0}=k(x - x_{0}) $包含点$ (x_{0},y_{0}) $，所以该说法错误．
（4）×
解析：垂直于$ x $轴的直线斜率不存在，不能用点斜式方程表示，所以该说法错误．
（5）×
解析：截距是直线与$ y $轴交点的纵坐标，可正可负，不是距离，所以该说法错误．
（6）×
解析：直线$ y = kx - b $在$ y $轴上的截距为$ -b $，所以该说法错误．

例1 求满足下列条件的直线的点斜式方程：
（1）过点$ P(-4,3) $，斜率$ k=-3 $．
（2）过点$ P(3,-4) $，且与$ x $轴平行．
（3）过$ P(-2,3),Q(5,-4) $两点．

答案： （1）$ y - 3=-3(x + 4) $
解析：由点斜式方程得$ y - 3=-3[x - (-4)] $，即$ y - 3=-3(x + 4) $．
（2）$ y=-4 $
解析：与$ x $轴平行的直线斜率为0，所以方程为$ y - (-4)=0(x - 3) $，即$ y=-4 $．
（3）$ y - 3=-(x + 2) $
解析：$ k=\frac{-4 - 3}{5 - (-2)}=\frac{-7}{7}=-1 $，所以点斜式方程为$ y - 3=-1[x - (-2)] $，即$ y - 3=-(x + 2) $．