《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

迁移探究 若本例条件不变,试求$BC$边的垂直平分线所在直线的方程.

答案： $5x - 2y - \frac{37}{2}=0$
解析：$BC$斜率为$-\frac{2}{5}$，垂直平分线斜率为$\frac{5}{2}$，中点$(\frac{5}{2},-3)$，方程$y + 3=\frac{5}{2}(x - \frac{5}{2})$，化为$10x - 4y - 37=0$。

例2 (1)过点$A(1,2)$的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为（ ）
A.$x - y + 3=0$
B.$x + y - 3=0$
C.$2x - y=0$或$x - y + 1=0$
D.$2x + y=0$或$x + y + 1=0$

答案： C
解析：当截距都为0时，设方程$y = kx$，过$A(1,2)$，$k=2$，方程$2x - y=0$；当截距不为0时，设$\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}=1$，过$A(1,2)$，$\frac{1}{a}-\frac{2}{a}=1$，$-\frac{1}{a}=1$，$a=-1$，方程$-x + y=1$即$x - y + 1=0$，故选C。

(2)已知直线$l$过点$(1,3)$,且在$y$轴上的截距为在$x$轴上的截距的2倍,则直线$l$的方程为（ ）
A.$3x - y=0$
B.$2x + y - 5=0$
C.$3x - y=0$或$2x + y - 5=0$
D.$3x - y=0$或$x + 2y - 7=0$

答案： C
解析：当截距都为0时，方程$y = 3x$即$3x - y=0$；当截距不为0时，设$\frac{x}{a}+\frac{y}{2a}=1$，过$(1,3)$，$\frac{1}{a}+\frac{3}{2a}=1$，$\frac{5}{2a}=1$，$a=\frac{5}{2}$，方程$\frac{2x}{5}+\frac{y}{5}=1$即$2x + y - 5=0$，故选C。

活学活用 已知$\triangle ABC$的三个顶点$A(2,-1),B(2,2),C(4,1)$,求三角形三条边所在直线的方程.

答案： $AB$：$x=2$；$BC$：$x + 2y - 6=0$；$AC$：$x - y - 3=0$
解析：$AB$：$x=2$（垂直于$x$轴）；$BC$：斜率$\frac{1 - 2}{4 - 2}=-\frac{1}{2}$，方程$y - 2=-\frac{1}{2}(x - 2)$，化为$x + 2y - 6=0$；$AC$：斜率$\frac{1 - (-1)}{4 - 2}=1$，方程$y + 1=1×(x - 2)$，即$x - y - 3=0$。

(1)已知$\triangle ABC$的三个顶点$A(1,2),B(3,6),C(5,2),M$为$AB$的中点,$N$为$AC$的中点,则中位线$MN$所在直线的截距式方程为（ ）
A.$\frac{x}{4}+\frac{y}{8}=1$
B.$\frac{x}{8}+\frac{y}{4}=1$
C.$\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1$
D.$\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=1$

答案： A
解析：$M(2,4)$，$N(3,2)$，斜率$\frac{2 - 4}{3 - 2}=-2$，方程$y - 4=-2(x - 2)$，即$y=-2x + 8$，截距式$\frac{x}{4}+\frac{y}{8}=1$，故选A。

(2)直线$l$过点$P(1,3)$,且在两坐标轴上的截距相等,则直线$l$的方程为______.

答案： $3x - y=0$或$x + y - 4=0$
解析：截距都为0时，$y = 3x$；截距不为0时，设$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，过$P(1,3)$，$\frac{1 + 3}{a}=1$，$a=4$，方程$x + y - 4=0$。