《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例3 (1)若直线$l$的横截距为$m$,且在$x$轴、$y$轴上的截距之和为4.若直线$l$的斜率为2,求实数$m$的值.
(2)若直线$l$分别与$x$轴、$y$轴的正半轴交于点$A,B$,$O$是原点,求$\triangle AOB$面积的最大值及此时直线$l$的方程.

答案：
(1)$m=-4$
解析：设直线方程$\frac{x}{m}+\frac{y}{4 - m}=1$，斜率$-\frac{4 - m}{m}=2$，$-(4 - m)=2m$，$-4 + m=2m$，$m=-4$。
(2)面积最大值为4，此时方程$x + y - 4=0$
解析：设$A(a,0)$，$B(0,b)(a,b＞0)$，$a + b=4$，面积$S=\frac{1}{2}ab\leq\frac{1}{2}(\frac{a + b}{2})^{2}=\frac{1}{2}×4=2$，当$a = b=2$时取等，方程$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1$即$x + y - 2=0$。

活学活用 已知直线$l$过点$P(3,2)$,且与$x$轴、$y$轴的正半轴分别交于$A,B$两点,求$\triangle ABO$面积的最小值及此时直线$l$的方程.

答案： 面积最小值为12，此时方程$2x + 3y - 12=0$
解析：设方程$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a,b＞0)$，过$P(3,2)$，$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1$，$S=\frac{1}{2}ab$。由均值不等式$1=\frac{3}{a}+\frac{2}{b}\geq2\sqrt{\frac{6}{ab}}$，$\sqrt{\frac{6}{ab}}\leq\frac{1}{2}$，$\frac{6}{ab}\leq\frac{1}{4}$，$ab\geq24$，$S\geq12$，当$\frac{3}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{2}$，$a=6$，$b=4$时取等，方程$\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1$即$2x + 3y - 12=0$。

1. 直线$\frac{x}{3}-\frac{y}{4}=1$在两坐标轴上的截距之和为（ ）
A.1
B.-1
C.7
D.-7

答案： B
解析：$x$轴截距$3$，$y$轴截距$-4$，之和$3 + (-4)=-1$，故选B。

2. 经过点$A(-3,2),B(4,4)$的直线的两点式方程为（ ）
A.$\frac{y - 2}{2}=\frac{x + 3}{7}$
B.$\frac{y - 2}{-2}=\frac{x - 3}{7}$
C.$\frac{y + 2}{x - 7}=\frac{x - 3}{7}$
D.$\frac{y - 2}{x + 3}=\frac{2}{7}$

答案： A
解析：两点式方程$\frac{y - 2}{4 - 2}=\frac{x - (-3)}{4 - (-3)}$，即$\frac{y - 2}{2}=\frac{x + 3}{7}$，故选A。

3. 过点$P(1,2)$,且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（ ）
A.4条
B.2条
C.3条
D.1条

答案： C
解析：截距都为0时，$y = 2x$；截距相等且不为0时，$x + y=3$；截距互为相反数时，$x - y=-1$，共3条，故选C。

4. 已知$\triangle ABC$的三个顶点分别为$A(0,4),B(-2,6),C(-8,0)$.
(1)求边$AC$和$AB$所在直线的方程.
(2)求$AC$边上的中线$BD$所在直线的方程.
(3)求$AC$边上的中垂线的方程.

答案：
(1)$AC$：$x - 2y + 8=0$；$AB$：$x + y - 4=0$
解析：$AC$：过$(0,4)$，$(-8,0)$，斜率$\frac{0 - 4}{-8 - 0}=\frac{1}{2}$，方程$y=\frac{1}{2}x + 4$即$x - 2y + 8=0$；$AB$：过$(0,4)$，$(-2,6)$，斜率$\frac{6 - 4}{-2 - 0}=-1$，方程$y=-x + 4$即$x + y - 4=0$。
(2)$BD$：$2x - y + 10=0$
解析：$AC$中点$D(-4,2)$，$B(-2,6)$，斜率$\frac{6 - 2}{-2 - (-4)}=2$，方程$y - 2=2(x + 4)$即$2x - y + 10=0$。
(3)中垂线：$2x + y + 6=0$
解析：$AC$斜率$\frac{1}{2}$，中垂线斜率$-2$，过$D(-4,2)$，方程$y - 2=-2(x + 4)$即$2x + y + 6=0$。