《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

活学活用：焦点在x轴上的椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1(b ＞ 0)$离心率$e = \frac{1}{2}$，F，A分别是左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，求$\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{PA}$的最大值.

答案： 4
解析：椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$，a = 2，e = $\frac{c}{a}$ = $\frac{1}{2}$得c = 1，$b^2 = a^2 - c^2 = 3$，椭圆方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。F(-1,0)，A(2,0)，设P$(x,y)$，$\overrightarrow{PF}=(-1 - x,-y)$，$\overrightarrow{PA}=(2 - x,-y)$，$\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{PA}=x^2 - x - 2 + y^2$。由$y^2 = 3(1 - \frac{x^2}{4})$代入得$\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{PA}=\frac{x^2}{4} - x + 1 = \frac{1}{4}(x - 2)^2$，x ∈ [-2,2]，当x = -2时最大值为4。

活学活用：已知椭圆$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a ＞ b ＞ 0)$离心率为$\frac{1}{2}$，且过点A(-2,0).
(1)求椭圆E的方程.
(2)过点$(\frac{3}{2},0)$且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，证明：直线AM与直线AN的斜率之积为定值.

答案：
(1)$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
解析：椭圆过A(-2,0)，则a = 2，e = $\frac{c}{a}$ = $\frac{1}{2}$得c = 1，$b^2 = 3$，方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。
(2)证明：设直线l：x = ty + $\frac{3}{2}$，联立椭圆方程得$(3t^2 + 4)y^2 + 9ty - \frac{21}{4}=0$。设M$(x_1,y_1)$，N$(x_2,y_2)$，则$y_1 + y_2 = -\frac{9t}{3t^2 + 4}$，$y_1y_2 = -\frac{21}{4(3t^2 + 4)}$。k$_{AM}$ = $\frac{y_1}{x_1 + 2}$，k$_{AN}$ = $\frac{y_2}{x_2 + 2}$，k$_{AM}$k$_{AN}$ = $\frac{y_1y_2}{(ty_1 + \frac{7}{2})(ty_2 + \frac{7}{2})}$ = $\frac{y_1y_2}{t^2y_1y_2 + \frac{7t}{2}(y_1 + y_2) + \frac{49}{4}}$，代入化简得$-\frac{1}{4}$（定值）。

例3 已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a ＞ b ＞ 0)$上有两点A(0,4)和$B(-3,\frac{16}{5})$.
(1)求椭圆C的焦距.
(2)探究是否存在过点(0,-5)且与椭圆C交于不同两点M，N，满足|AM|=|AN|的直线l，若存在求出方程，若不存在说明理由.

答案：
(1)6
解析：A(0,4)在椭圆上，得b = 4，$\frac{0}{a^2}+\frac{16}{b^2}=1$成立。B$(-3,\frac{16}{5})$代入得$\frac{9}{a^2}+\frac{256}{25×16}=1$，解得$a^2 = 25$，c = 3，焦距2c = 6。
(2)存在，直线方程为$y = \pm \frac{3}{4}x - 5$
解析：椭圆方程$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$。设直线l：y = kx - 5，联立得$(16 + 25k^2)x^2 - 250kx + 225 = 0$，$\Delta$ = (250k)^2 - 4×225×(16 + 25k^2) ＞ 0得k^2 ＞ $\frac{9}{25}$。设M$(x_1,y_1)$，N$(x_2,y_2)$，MN中点Q$(x_Q,y_Q)$，$x_Q = \frac{125k}{16 + 25k^2}$，$y_Q = kx_Q - 5$。|AM|=|AN|等价于AQ⊥MN，k$_{AQ}$·k = -1，$\frac{y_Q - 4}{x_Q - 0}$·k = -1，代入解得k = $\pm \frac{3}{4}$，满足$\Delta$ ＞ 0，直线方程为$y = \pm \frac{3}{4}x - 5$。