《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

如图,在四棱锥$P-ABCD$中,底面$ABCD$是直角梯形,$AB// CD$,$AB=1,AD=\sqrt{3},CD=2,\angle ADC=\frac{\pi}{2}$,平面$PBC\perp$平面$ABCD$,且$PB=PC$,$E$为$BC$的中点,求证:平面$PAE\perp$平面$PBD.$

答案： 以$D$为原点，分别以$DC,DA$所在直线为$x,y$轴建立平面直角坐标系，设$P(1,\sqrt{3},h)$，则$A(0,\sqrt{3},0),B(1,\sqrt{3},0),E(1,\frac{\sqrt{3}}{2},0)$。$\overrightarrow{AE}=(1,-\frac{\sqrt{3}}{2},0)$，$\overrightarrow{AP}=(1,0,h)$，$\overrightarrow{BD}=(-1,-\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{BP}=(0,0,h)$。设平面$PAE$的法向量为$\boldsymbol{n}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$，平面$PBD$的法向量为$\boldsymbol{n}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$，求得$\boldsymbol{n}_{1}=(\sqrt{3},2,-\frac{\sqrt{3}}{h})$，$\boldsymbol{n}_{2}=(\sqrt{3},-1,0)$，因为$\boldsymbol{n}_{1}\cdot\boldsymbol{n}_{2}=0$，所以平面$PAE\perp$平面$PBD$。

如图,这是一个三棱锥被平行于底面$ABC$的平面所截得的几何体,截面为$A_{1}B_{1}C_{1}$,$\angle BAC=90^{\circ}$,$A_{1}A\perp$平面$ABC$,$A_{1}A=\sqrt{3}$,$AB=AC=2A_{1}C_{1}=2$,$D$为$BC$的中点.求证:平面$A_{1}AD\perp$平面$BCC_{1}B_{1}.$

答案： 以$A$为原点，分别以$AB,AC,AA_{1}$所在直线为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系，则$A(0,0,0),A_{1}(0,0,\sqrt{3}),D(1,1,0),B(2,0,0),C(0,2,0),C_{1}(0,1,\sqrt{3})$。$\overrightarrow{AD}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{AA_{1}}=(0,0,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{CC_{1}}=(0,-1,\sqrt{3})$。设平面$A_{1}AD$的法向量为$\boldsymbol{n}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$，平面$BCC_{1}B_{1}$的法向量为$\boldsymbol{n}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$，求得$\boldsymbol{n}_{1}=(1,-1,0)$，$\boldsymbol{n}_{2}=(1,1,\frac{1}{\sqrt{3}})$，因为$\boldsymbol{n}_{1}\cdot\boldsymbol{n}_{2}=0$，所以平面$A_{1}AD\perp$平面$BCC_{1}B_{1}$。

1. 已知平面$\alpha$的一个法向量为$\boldsymbol{a}=(1,2,-2)$,平面$\beta$的一个法向量为$\boldsymbol{b}=(-2,-4,k)$,若$\alpha\perp\beta$,则$k=$（ ）
A. 4
B. -4
C. 5
D. -5

答案： D

2. 已知$A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)$三点,$\boldsymbol{n}=(1,1,1)$,则以$\boldsymbol{n}$为方向向量的直线与平面$ABC$的位置关系是（ ）
A. 垂直
B. 不垂直
C. 平行
D. 平行或垂直

答案： A

3. 已知三条直线$l_{1},l_{2},l_{3}$的一个方向向量分别为$\boldsymbol{a}=(4,-1,0),\boldsymbol{b}=(1,4,5),\boldsymbol{c}=(-3,12,-9)$,则（ ）
A. $l_{1}\perp l_{2}$,但$l_{1}$与$l_{3}$不垂直
B. $l_{1}\perp l_{3}$,但$l_{1}$与$l_{2}$不垂直
C. $l_{2}\perp l_{3}$,但$l_{2}$与$l_{1}$不垂直
D. $l_{1},l_{2},l_{3}$两两垂直

答案： A

4. 已知$\boldsymbol{a}=(0,1,1),\boldsymbol{b}=(1,1,0),\boldsymbol{c}=(1,0,1)$分别是平面$\alpha,\beta,\gamma$的法向量,则$\alpha,\beta,\gamma$三个平面中互相垂直的有______对.

答案： 3

5. 在三棱锥$S-ABC$中,$\angle SAB=\angle SAC=\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=2$,$BC=\sqrt{13}$,$SB=\sqrt{29}$,则直线$SC$与$BC$______.(填“垂直”或“不垂直”)

答案： 垂直