《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

直线倾斜角的定义
当直线$l$与$x$轴相交时，我们以______为基准，$x$轴______与直线$l$______ 的方向之间所成的角$\alpha$叫做直线$l$的倾斜角。

答案： x轴正方向；正方向；向上

直线的方向向量
设$P_{1}(x_{1},y_{1})$，$P_{2}(x_{2},y_{2})(x_{1}\neq x_{2})$是直线$l$上的两点，则向量$\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})$以及与它平行的非零向量都是直线的______。若直线$l$的斜率为$k$，它的一个方向向量的坐标为$(x,y)$，则$k = $______。

答案： 方向向量；$\frac{y}{x}$

判断正误 （请在括号中打“√”或“×”）
直线的倾斜角
（1）若直线的倾斜角为$ \alpha $，则$ 0^{\circ}\leq\alpha \leq 180^{\circ} $．（ ）
（2）一个倾斜角$ \alpha $不能确定一条直线．（ ）
（3）不同直线的倾斜角一定不相同．（ ）
直线的斜率
（4）若一条直线的斜率为$ \tan\alpha $，则此直线的倾斜角为$ \alpha $．（ ）
（5）若一条直线的倾斜角为$ \alpha $，则此直线的斜率为$ \tan\alpha $．（ ）
（6）直线的倾斜角越大，其斜率就越大．（ ）

答案： （1）×
解析：直线倾斜角的取值范围是$ 0^{\circ}\leq\alpha ＜ 180^{\circ} $，不包含$ 180^{\circ} $，所以该说法错误．
（2）√
解析：确定一条直线需要倾斜角和经过的一个点，仅有倾斜角$ \alpha $不能确定一条直线，该说法正确．
（3）×
解析：不同的直线可以有相同的倾斜角，比如平行的直线倾斜角相同，所以该说法错误．
（4）×
解析：若直线的斜率为$ \tan\alpha $，则倾斜角应为$ \beta=\alpha + k\cdot180^{\circ}(k\in\mathbf{Z}) $且$ 0^{\circ}\leq\beta ＜ 180^{\circ} $，不一定就是$ \alpha $，所以该说法错误．
（5）×
解析：当倾斜角$ \alpha = 90^{\circ} $时，直线的斜率不存在，所以该说法错误．
（6）×
解析：当倾斜角在$ 0^{\circ}$到$ 90^{\circ}$之间时，倾斜角越大，斜率越大；当倾斜角在$ 90^{\circ}$到$ 180^{\circ}$之间时，倾斜角越大，斜率反而越小，所以该说法错误．