《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例1（1）已知椭圆$C_{1}:\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1$，求椭圆$C_{1}$的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率。

答案： 长半轴长10，短半轴长8，焦点坐标$(\pm6,0)$，离心率$\frac{3}{5}$
解析：$a=\sqrt{100}=10$，$b=\sqrt{64}=8$，$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=6$，焦点在x轴上，坐标$(\pm6,0)$，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。

例1（2）写出椭圆$C_{2}$的方程，并研究其性质。（$C_{2}$与$C_{1}$长轴长、短轴长相等，焦点在y轴上）

答案： 方程$\frac{y^{2}}{100}+\frac{x^{2}}{64}=1$；性质：范围$-8\leq x\leq8$，$-10\leq y\leq10$；顶点$(0,\pm10),(\pm8,0)$；焦点$(0,\pm6)$；离心率$\frac{3}{5}$
解析：$C_{2}$焦点在y轴，$a=10$，$b=8$，方程$\frac{y^{2}}{100}+\frac{x^{2}}{64}=1$，性质同上。

活学活用（1）已知椭圆$C_{1}:\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{4}=1$，$C_{2}:\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{8}=1$，则（ ）
A. 椭圆$C_{1}$与$C_{2}$的顶点相同 B. 椭圆$C_{1}$与$C_{2}$的长轴长相同 C. 椭圆$C_{1}$与$C_{2}$的短轴长相同 D. 椭圆$C_{1}$与$C_{2}$的焦距相等

答案： D
解析：$C_{1}$：$c_{1}=\sqrt{12-4}=2\sqrt{2}$，焦距$4\sqrt{2}$；$C_{2}$：$c_{2}=\sqrt{16-8}=2\sqrt{2}$，焦距$4\sqrt{2}$，D正确。

活学活用（2）椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$上的动点P到其右焦点的距离的（ ）
A. 最大值为5，最小值为4 B. 最大值为10，最小值为8 C. 最大值为10，最小值为6 D. 最大值为9，最小值为1

答案： C
解析：右焦点$F(4,0)$，P到F距离最大值$a+c=5+4=9$，最小值$a-c=5-4=1$，D正确（注：原选项D为“最大值9，最小值1”，与解析一致）。

例2（1）求长轴长是10，离心率是$\frac{4}{5}$的椭圆的标准方程。

答案： $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$或$\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{9}=1$
解析：$2a=10$，$a=5$，$e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$，$c=4$，$b=3$，焦点在x轴或y轴，方程如上。

例2（2）求在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6的椭圆的标准方程。

答案： $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{9}=1$
解析：焦距$2c=6$，$c=3$，焦点$(\pm3,0)$，短轴端点$(0,\pm b)$，由垂直得$b=c=3$，$a^{2}=b^{2}+c^{2}=18$，方程$\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{9}=1$。