《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例1 在空间直角坐标系中,已知$A(1,-2,1)$,$B(2,2,2)$,点$P$在$z$轴上,且满足$PA=PB$.
(1)求点$P$的坐标.

答案： $(0,0,\frac{3}{2})$
解析：设$P(0,0,z)$，$PA^{2}=1+4+(z-1)^{2}$，$PB^{2}=4+4+(z-2)^{2}$，$5+(z-1)^{2}=8+(z-2)^{2}$，解得$z=\frac{3}{2}$，故$P(0,0,\frac{3}{2})$。

(2)求点$P$的位置向量.

答案： $(0,0,\frac{3}{2})$
解析：位置向量即$\overrightarrow{OP}=(0,0,\frac{3}{2})$。

(3)求点$B$到原点的距离.

答案： $3$
解析：$|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{4+4+4}=3$。

例2 在四棱锥$P-ABCD$中,$ABCD$是平行四边形,$E$在$PC$上,且$CE=3EP$,设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{AP}=\boldsymbol{c}$,以$\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$为空间的一个基底,求直线$AE$的一个方向向量.

答案： $\frac{1}{4}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
解析：$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PE}=\boldsymbol{c}+\frac{1}{4}\overrightarrow{PC}=\boldsymbol{c}+\frac{1}{4}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP})=\boldsymbol{c}+\frac{1}{4}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=\frac{1}{4}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}+\frac{3}{4}\boldsymbol{c}$。（注：原答案解析计算错误，此处按正确计算过程修正）

活学活用 (1)若点$A(-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$,$B(\frac{1}{2},2,\frac{7}{2})$在直线$l$上,则直线$l$的一个方向向量为（ ）
A. $(\frac{1}{3},\frac{2}{3},1)$ B. $(\frac{1}{3},1,\frac{2}{3})$ C. $(\frac{2}{3},\frac{1}{3},1)$ D. $(1,\frac{2}{3},\frac{1}{3})$

答案： A
解析：$\overrightarrow{AB}=(1,2,3)$，方向向量可为$(\frac{1}{3},\frac{2}{3},1)$（即$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$），故选A。

(2)已知$\overrightarrow{AB}=(m,-2,1)$,若直线$AB$的一个方向向量为$(1,2,-1)$,则$m=$___________.

答案： -1
解析：$(m,-2,1)=\lambda(1,2,-1)$，则$\lambda=-1$，$m=-1$。