《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例3 如图,在四棱锥$P-ABCD$中,底面$ABCD$为矩形,$PA\perp$平面$ABCD$,$E$为$PD$的中点,$AB=AP=1$,$AD=\sqrt{3}$,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面$ACE$的一个法向量.

答案： $(1,\sqrt{3},1)$（答案不唯一）
解析：以$A$为原点，$AB,AD,AP$为轴建系，$A(0,0,0)$，$C(1,\sqrt{3},0)$，$E(0,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{AC}=(1,\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{AE}=(0,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$，设法向量$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}x+\sqrt{3}y=0\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{1}{2}z=0\end{cases}$，取$y=1$，得$x=-\sqrt{3}$，$z=-\sqrt{3}$，$\boldsymbol{n}=(-\sqrt{3},1,-\sqrt{3})$（答案不唯一，与该向量共线即可）。

迁移探究 本例条件不变,试求直线$PC$的一个方向向量和平面$PCD$的一个法向量.

答案： 方向向量$(1,\sqrt{3},-1)$；法向量$(0,1,\sqrt{3})$（答案不唯一）
解析：$\overrightarrow{PC}=(1,\sqrt{3},-1)$为方向向量；$\overrightarrow{PC}=(1,\sqrt{3},-1)$，$\overrightarrow{PD}=(0,\sqrt{3},-1)$，设平面$PCD$法向量$\boldsymbol{m}=(a,b,c)$，$\begin{cases}a+\sqrt{3}b - c=0\\\sqrt{3}b - c=0\end{cases}$，得$a=0$，取$b=1$，$c=\sqrt{3}$，$\boldsymbol{m}=(0,1,\sqrt{3})$。

当堂自评 1. 若$A(0,2,1)$,$B(3,2,-1)$在直线$l$上,则直线$l$的一个方向向量为（ ）
A. $(-3,0,-6)$ B. $(9,0,-6)$ C. $(-2,0,2)$ D. $(-2,1,3)$

答案： A
解析：$\overrightarrow{AB}=(3,0,-2)$，方向向量可为$(-3,0,2)$（与$\overrightarrow{AB}$共线），选项A$(-3,0,-6)=3(-1,0,-2)$与$\overrightarrow{AB}$不共线，选项C$(-2,0,2)=-\frac{2}{3}(3,0,-3)$不共线，选项B$(9,0,-6)=3(3,0,-2)=3\overrightarrow{AB}$，故选B。（注：原答案解析错误，正确应为B）

2. 已知直线$l$的一个方向向量为$\boldsymbol{m}=(2,-1,3)$,且直线$l$过$A(0,y,3)$和$B(-1,2,z)$两点,则$y - z=$（ ）
A. 0 B. 2 C. $\frac{1}{2}$ D. 3

答案： A
解析：$\overrightarrow{AB}=(-1,2 - y,z - 3)=\lambda(2,-1,3)$，$\lambda=-\frac{1}{2}$，$2 - y=\frac{1}{2}$，$y=\frac{3}{2}$；$z - 3=-\frac{3}{2}$，$z=\frac{3}{2}$，$y - z=0$，故选A。

3. 已知平面内的两个向量$\boldsymbol{a}=(2,3,1)$,$\boldsymbol{b}=(5,6,4)$,则该平面的一个法向量为（ ）
A. $(1,-1,1)$ B. $(2,-1,1)$ C. $(-2,1,1)$ D. $(-1,1,-1)$

答案： A
解析：设法向量$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，$\begin{cases}2x + 3y + z=0\\5x + 6y + 4z=0\end{cases}$，令$x=1$，解得$y=-1$，$z=1$，$\boldsymbol{n}=(1,-1,1)$，故选A。