《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例4（1）若方程$\frac{x^{2}}{25-m}+\frac{y^{2}}{m+9}=1$表示椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A. $(-9,25)$ B. $(-9,8)\cup(8,25)$ C. $(8,25)$ D. $(8,+\infty)$

答案： B
解析：由椭圆标准方程条件$\begin{cases}25-m＞0\\m+9＞0\\25-m\neq m+9\end{cases}$，解得$-9＜m＜25$且$m\neq8$，即$(-9,8)\cup(8,25)$。

例4（2）若方程$x^{2}-3my^{2}=1$表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是______。

答案： $(-\infty,-\frac{1}{3})$
解析：方程化为$x^{2}+\frac{y^{2}}{-\frac{1}{3m}}=1$，焦点在x轴上，则$-\frac{1}{3m}＞0$且$-\frac{1}{3m}＜1$，解得$m＜-\frac{1}{3}$。

活学活用：若曲线$C:(k-4)x^{2}+\frac{y^{2}}{6-k}=1$表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A. $(4,6)$ B. $(4,5)$ C. $(5,6)$ D. $(4,5)\cup(5,6)$

答案： D
解析：方程表示椭圆需$\begin{cases}k-4＞0\\6-k＞0\\k-4\neq6-k\end{cases}$，解得$4＜k＜6$且$k\neq5$，即$(4,5)\cup(5,6)$。

当堂自评1：已知$F_{1},F_{2}$为两定点，$|F_{1}F_{2}|=6$，动点M满足$|MF_{1}|+|MF_{2}|=16$，则动点M的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 直线 C. 圆 D. 线段

答案： A
解析：$|MF_{1}|+|MF_{2}|=16＞|F_{1}F_{2}|=6$，符合椭圆定义，轨迹为椭圆。

当堂自评2：已知椭圆的两个焦点分别为$F_{1}(-8,0),F_{2}(8,0)$，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（ ）
A. $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{100}=1$ B. $\frac{x^{2}}{400}+\frac{y^{2}}{226}=1$ C. $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{36}=1$ D. $\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{12}=1$

答案： C
解析：焦点在x轴上，$2a=20$，$a=10$，$c=8$，$b^{2}=a^{2}-c^{2}=100-64=36$，方程为$\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{36}=1$。

当堂自评3：若方程$\frac{x^{2}}{9-k}+\frac{y^{2}}{k-1}=1$表示椭圆C，则下面结论正确的是（ ）
A. $k\in(1,9)$ B. 椭圆C的焦距为$2\sqrt{2}$ C. 若椭圆C的焦点在x轴上，则$k\in(1,5)$ D. 若椭圆C的焦点在x轴上，则$k\in(5,9)$

答案： C
解析：方程表示椭圆需$\begin{cases}9-k＞0\\k-1＞0\\9-k\neq k-1\end{cases}$，即$1＜k＜9$且$k\neq5$。焦点在x轴上时$9-k＞k-1$，解得$k＜5$，故$k\in(1,5)$，C正确。

当堂自评4：椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$的焦点坐标是______。

答案： $(\pm1,0)$
解析：$a^{2}=5$，$b^{2}=4$，$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=1$，焦点在x轴上，坐标为$(\pm1,0)$。

当堂自评5：求以椭圆$9x^{2}+5y^{2}=45$的焦点为焦点，且经过点$M(2,\sqrt{6})$的椭圆的标准方程。

答案： $\frac{y^{2}}{12}+\frac{x^{2}}{8}=1$
解析：原椭圆方程化为$\frac{y^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{5}=1$，焦点在y轴上，$c^{2}=9-5=4$，$c=2$，设所求椭圆方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{a^{2}-4}=1$，将$M(2,\sqrt{6})$代入得$\frac{6}{a^{2}}+\frac{4}{a^{2}-4}=1$，解得$a^{2}=12$（$a^{2}=2$舍），方程为$\frac{y^{2}}{12}+\frac{x^{2}}{8}=1$。