《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例1 如图，在棱长为 1 的正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，E 是 AB 的中点，F 是$BB_1$的中点，G 是$AB_1$的中点，试建立适当的空间直角坐标系，并确定 E，F，G 三点的坐标．

答案： 以 D 为原点，$DA,DC,DD_1$为轴建系，$E(\frac{1}{2},1,0),F(1,1,\frac{1}{2}),G(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2})$

例2 已知在直三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中，$\angle BAC = 90°$，$AB = AC = AA_1 = 4$，建立适当的空间直角坐标系，求向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC_1},\overrightarrow{BC_1}$的坐标．

答案： 以 A 为原点，$AB,AC,AA_1$为轴建系，$\overrightarrow{AB}=(4,0,0),\overrightarrow{AC_1}=(0,4,4),\overrightarrow{BC_1}=(-4,4,4)$

活学活用 已知正四棱锥 P - ABCD 的底面边长为 4，侧棱长为 10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．

答案： 以底面中心 O 为原点，$OA,OB,OP$为轴建系，$A(2\sqrt{2},0,0),B(0,2\sqrt{2},0),C(-2\sqrt{2},0,0),D(0,-2\sqrt{2},0),P(0,0,2\sqrt{23})$

活学活用 如图所示，在三棱锥 O - ABC 中，OA，OB，OC 两两垂直，$OA = 1$，$OB = 2$，$OC = 3$，E，F 分别为 AC，BC 的中点，建立以$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$方向上的单位向量为正交基底的空间直角坐标系 Oxyz，求 EF 中点 P 的坐标．

答案： $E(\frac{1}{2},0,\frac{3}{2}),F(0,1,\frac{3}{2})$，P 坐标为$(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{2})$