《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

活学活用 已知正三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$的底面边长为a，侧棱长为$\sqrt{2}a$，M为$A_{1}B_{1}$的中点，求$BC_{1}$与平面$AMC_{1}$所成角的正弦值.

答案： $\frac{\sqrt{6}}{4}$
解析：以A为原点建系，$A(0,0,0)$，$C_1\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},\sqrt{2}a\right)$，$M\left(\frac{a}{4},\frac{\sqrt{3}a}{4},\sqrt{2}a\right)$，$B\left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},0\right)$。$\overrightarrow{BC_1}=(-a,0,\sqrt{2}a)$，平面$AMC_1$法向量$\boldsymbol{n}=(2\sqrt{3},-2,\sqrt{2})$，$\sin\theta=\frac{|\overrightarrow{BC_1}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{BC_1}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{6}}{4}$。

用坐标法求直线与平面所成角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)分别求出直线的方向向量$\boldsymbol{u}$和平面的法向量$\boldsymbol{n}$的坐标.
(3)设线面角为$\theta$,则$\sin\theta=\frac{|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}$.
(4)由$\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$,求$\theta$.

答案： 无