《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

如图,在四棱锥$P-ABCD$中,$PA\perp$平面$ABCD$,四边形$ABCD$是矩形,$PA=AB=1$,点$F$是$PB$的中点,点$E$在边$BC$上移动.求证:无论点$E$在边$BC$上的何处,都有$PE\perp AF.$

答案： 以$A$为原点，分别以$AB,AD,AP$所在直线为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系，设$AD=a,BE=b$，则$P(0,0,1),E(1,b,0),F(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$。$\overrightarrow{PE}=(1,b,-1)$，$\overrightarrow{AF}=(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$，因为$\overrightarrow{PE}\cdot\overrightarrow{AF}=0$，所以无论$b$为何值，$PE\perp AF$。

如图,在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,$E,F$分别是$BB_{1},D_{1}B_{1}$的中点.求证:$EF\perp$平面$B_{1}AC.$

答案： 以$D$为原点，分别以$DA,DC,DD_{1}$所在直线为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则$E(2,2,1),F(1,1,2),B_{1}(2,2,2),A(2,0,0),C(0,2,0)$。$\overrightarrow{EF}=(-1,-1,1)$，$\overrightarrow{AB_{1}}=(0,2,2)$，$\overrightarrow{AC}=(-2,2,0)$。因为$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{AB_{1}}=0$且$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{AC}=0$，所以$EF\perp$平面$B_{1}AC$。

如图,正三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$的所有棱长都为2,$D$为$CC_{1}$的中点.求证:$AB_{1}\perp$平面$A_{1}BD.$

答案： 以$B$为原点，$BA$所在直线为$x$轴，过$B$作$AC$的垂线为$y$轴，$BB_{1}$所在直线为$z$轴建立空间直角坐标系，则$A(2,0,0),B_{1}(0,0,2),A_{1}(2,0,2),B(0,0,0),D(1,\sqrt{3},1)$。$\overrightarrow{AB_{1}}=(-2,0,2)$，$\overrightarrow{BA_{1}}=(2,0,2)$，$\overrightarrow{BD}=(1,\sqrt{3},1)$。因为$\overrightarrow{AB_{1}}\cdot\overrightarrow{BA_{1}}=0$且$\overrightarrow{AB_{1}}\cdot\overrightarrow{BD}=0$，所以$AB_{1}\perp$平面$A_{1}BD$。