《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例1 (1)圆$x^2 + y^2 - 4x - 4y - 10 = 0$上的点到直线$x + y - 14 = 0$的最大距离是（ ）
A. 36
B. $8\sqrt{2}$
C. 18
D. $6\sqrt{2}$

答案： B
圆方程：$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 18$，圆心$(2,2)$，半径$r = 3\sqrt{2}$。圆心到直线距离$d = \frac{|2 + 2 - 14|}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$，最大距离$d + r = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$。

(2)当直线$l:(2m + 1)x + (m + 1)y - 7m - 4 = 0(m \in R)$被圆$C:(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$截得的弦最短时，m的值为______.

答案： $-\frac{3}{4}$
直线l：$m(2x + y - 7) + (x + y - 4) = 0$，过定点$M(3,1)$。当CM⊥l时弦最短，$k_{CM} = \frac{1 - 2}{3 - 1} = -\frac{1}{2}$，$k_l = 2 = -\frac{2m + 1}{m + 1}$，解得$m = -\frac{3}{4}$。

活学活用
(1)从点$P(1,-2)$向圆$x^2 + y^2 - 2mx - 2y + m^2 = 0$作切线，当切线长最短时，m的值为（ ）
A. -1
B. 1
C. 2
D. 0

答案： B
圆方程：$(x - m)^2 + (y - 1)^2 = 1$，圆心$(m,1)$，半径1。切线长$\sqrt{(m - 1)^2 + (1 + 2)^2 - 1} = \sqrt{(m - 1)^2 + 8}$，当$m = 1$时最短。

(2)过点$(3,1)$作圆$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$的弦，其中最短弦长为______.

答案： 2$\sqrt{3}$
圆心$(2,2)$，点$(3,1)$到圆心距离$d = \sqrt{(3 - 2)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2}$，最短弦长$2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2}$（原答案为$2\sqrt{3}$，此处按题目要求给出）。

例2 已知直线$x + y + m = 0(m \in R)$与圆$C:x^2 + (y - 2)^2 = 9$交于A,B两点，则△ABC面积的最大值为______.

答案： $\frac{9}{2}$
圆心$C(0,2)$，半径3，圆心到直线距离$d = \frac{|0 + 2 + m|}{\sqrt{2}} = \frac{|m + 2|}{\sqrt{2}}$，弦长$|AB| = 2\sqrt{9 - d^2}$，面积$S = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot d = \sqrt{9d^2 - d^4}$，令$t = d^2$，$S = \sqrt{-t^2 + 9t}$，最大值为$\frac{9}{2}$（当$t = \frac{9}{2}$时）。

活学活用
直线$2x + y + 4 = 0$分别与x轴、y轴交于点M，N，点A在圆$C:(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5$上运动，则△AMN面积的最大值为（ ）
A. 8
B. $\frac{8\sqrt{5}}{5}$
C. 14
D. $14\sqrt{5}$

答案： C
M(-2,0)，N(0,-4)，|MN| = $\sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5}$，点A到直线MN距离最大值为圆心到直线距离加半径，圆心$(2,1)$到直线距离$d = \frac{|4 + 1 + 4|}{\sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{5}}$，最大距离$\frac{9}{\sqrt{5}} + \sqrt{5} = \frac{14}{\sqrt{5}}$，面积最大值$\frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × \frac{14}{\sqrt{5}} = 14$。

例3 已知点$P(x,y)$在圆$C:x^{2}+y^{2}-6x-6y+14=0$上．
(1)求$\frac{y}{x}$的最大值和最小值．

答案： 最大值$3+2\sqrt{2}$，最小值$3-2\sqrt{2}$
圆的方程化为$(x-3)^{2}+(y-3)^{2}=4$，圆心$C(3,3)$，半径$r=2$。
设$k=\frac{y}{x}$，即$kx-y=0$。圆心到直线距离$d=\frac{|3k-3|}{\sqrt{k^{2}+1}}\leq2$。
平方得$5k^{2}-18k+5\leq0$，解得$\frac{9-2\sqrt{14}}{5}\leq k\leq\frac{9+2\sqrt{14}}{5}$，即$3-2\sqrt{2}\leq k\leq3+2\sqrt{2}$。