《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例1 (1)下列说法正确的是 （ ）
A. 已知$F_{1}(-4,0)$，$F_{2}(4,0)$，到$F_{1},F_{2}$两点的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆
B. 已知$F_{1}(-4,0)$，$F_{2}(4,0)$，到$F_{1},F_{2}$两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C. 到点$F_{1}(-4,0)$，$F_{2}(4,0)$的距离之和等于从点$(5,3)$到$F_{1},F_{2}$的距离之和的点的轨迹是椭圆
D. 到点$F_{1}(-4,0)$，$F_{2}(4,0)$距离相等的点的轨迹是椭圆

答案： C
A. 距离之和大于$2c=8$，轨迹是椭圆，正确。
B. 距离之和小于$8$，无轨迹，错误。
C. 点$(5,3)$到$F_{1},F_{2}$距离之和$\sqrt{81 + 9}+\sqrt{1 + 9}=3\sqrt{10}+\sqrt{10}=4\sqrt{10}＞8$，轨迹是椭圆，正确。
D. 轨迹是线段$F_{1}F_{2}$的中垂线，错误。

(2)点$M$在椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$上，$F$是椭圆的一个焦点，$N$为$MF$的中点，$|ON|=3$，则$|MF|=$________．

答案： 4
椭圆$a=5$，$b=3$，$c=4$。设另一焦点$F'$，$ON$是$\triangle MFF'$中位线，$|ON|=\frac{1}{2}|MF'|=3$，$|MF'|=6$，$|MF|=2a - |MF'|=10 - 6=4$。

活学活用 已知$F_{1},F_{2}$为椭圆$\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{36}=1$的两个焦点，过$F_{1}$的直线交椭圆于$A,B$两点，若$|F_{2}A| + |F_{2}B|=24$，则$|AB|=$ （ ）
A. 4
B. 16
C. 12
D. 8

答案： D
$a=10$，$|AF_{1}| + |AF_{2}|=20$，$|BF_{1}| + |BF_{2}|=20$，$|AB|=|AF_{1}| + |BF_{1}|=40 - (|AF_{2}| + |BF_{2}|)=40 - 24=16$。

例2 已知椭圆的两个焦点分别为$F_{1}(0,2)$，$F_{2}(0,-2)$，$P$为椭圆上任意一点，若$2|F_{1}F_{2}|=|PF_{1}| + |PF_{2}|$，则此椭圆的标准方程为 （ ）
A. $\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{60}=1$
B. $\frac{y^{2}}{64}+\frac{x^{2}}{60}=1$
C. $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$
D. $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{12}=1$

答案： D
$c=2$，$2|F_{1}F_{2}|=8=2a$，$a=4$，$b^{2}=a^{2}-c^{2}=12$，焦点在$y$轴，方程$\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{12}=1$。

例3 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点$P(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$，$Q(0,-\frac{1}{2})$的椭圆的标准方程．

答案： $\frac{x^{2}}{\frac{1}{5}}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{4}}=1$
设方程$mx^{2}+ny^{2}=1(m,n＞0,m\neq n)$，代入$P,Q$得$\begin{cases}\frac{1}{9}m+\frac{1}{9}n=1\frac{1}{4}n=1\end{cases}$，解得$n=4$，$m=5$，方程$5x^{2}+4y^{2}=1$，即$\frac{x^{2}}{\frac{1}{5}}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{4}}=1$。

活学活用 (1)已知椭圆的焦点在$x$轴上，中心为坐标原点，经过点$(1,\frac{3}{2})$，$(0,-\sqrt{3})$．则该椭圆的标准方程为 （ ）
A. $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$
B. $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}=1$
C. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$
D. $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$

答案： A
设方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ b ＞ 0)$，过$(0,-\sqrt{3})$，$b=\sqrt{3}$。过$(1,\frac{3}{2})$得$\frac{1}{a^{2}}+\frac{9}{4×3}=1$，$a^{2}=4$，方程$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$。

活学活用（2）若椭圆的焦点在x轴上，焦距为$2\sqrt{6}$，且经过点$(\sqrt{3},\sqrt{2})$，则该椭圆的标准方程为______。

答案： $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{3}=1$
解析：设椭圆方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$，$2c=2\sqrt{6}$，$c=\sqrt{6}$，$a^{2}-b^{2}=6$，将$(\sqrt{3},\sqrt{2})$代入$\frac{3}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}=1$，联立解得$a^{2}=9$，$b^{2}=3$，方程为$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{3}=1$。