《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例3 已知平行六面体$ABCD-A'B'C'D'$，点$E$在$AC'$上，且$AE:EC' = 1:2$，$F$，$G$分别是$B'D'$和$BD'$的中点，求下列各式中$x$，$y$，$z$的值。(1)$\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AA'}+y\overrightarrow{AB}+z\overrightarrow{AD}$。

答案： $x=\frac{1}{3}$，$y=\frac{1}{3}$，$z=\frac{1}{3}$

例3 (2)$\overrightarrow{BF}=x\overrightarrow{BB'}+y\overrightarrow{BA}+z\overrightarrow{BC}$。

答案： $x=\frac{1}{2}$，$y=-\frac{1}{2}$，$z=\frac{1}{2}$

例3 (3)$\overrightarrow{GF}=x\overrightarrow{BB'}+y\overrightarrow{BA}+z\overrightarrow{BC}$。

答案： $x=-\frac{1}{2}$，$y=0$，$z=0$

当堂自评1. 化简$\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{MN}$，结果是（ ）A. $\overrightarrow{PM}$B. $\overrightarrow{NP}$C. $\mathbf{0}$D. $\overrightarrow{MN}$

答案： C

当堂自评2. 在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，下列各式的运算结果不等于向量$\overrightarrow{AC_{1}}$的是（ ）A. $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CC_{1}}$B. $(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}D_{1}})+\overrightarrow{D_{1}C_{1}}$C. $(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})-\overrightarrow{CC_{1}}$D. $(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}B_{1}})+\overrightarrow{B_{1}C_{1}}$

答案： C

当堂自评3. 在三棱锥$P - ABC$中，$M$是棱$BC$的中点，若$\overrightarrow{PM}=x\overrightarrow{AP}+y\overrightarrow{AB}+z\overrightarrow{AC}(x,y,z\in\mathbf{R})$，则$x + y + z$的值为（ ）A. $-1$B. $0$C. $\frac{1}{2}$D. $1$

答案： B

当堂自评4. 如图,在四棱锥$P - ABCD$中,底面$ABCD$是正方形,$E$为$PD$的中点,若$\overrightarrow{PA}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{PB}=\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{PC}=\boldsymbol{c}$,则$\overrightarrow{BE}=$______.(用$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c}$表示)

答案： $\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$