《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

判断正误（请在括号中打“√”或“×”）：(1)若两个向量是共线向量，则表示这两个向量的有向线段必在同一条直线上。（ ）

答案： ×

判断正误（请在括号中打“√”或“×”）：(2)已知空间向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$，若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b}//\boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{c}$。（ ）

答案： ×

判断正误（请在括号中打“√”或“×”）：(3)直线的方向向量有无数个，且它们的方向相同。（ ）

答案： ×

判断正误（请在括号中打“√”或“×”）：(4)若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则存在实数$\lambda$，使$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$。（ ）

答案： ×

判断正误（请在括号中打“√”或“×”）：(5)若向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面。（ ）

答案： ×

判断正误（请在括号中打“√”或“×”）：(6)若$P$，$M$，$A$，$B$四点共面，则存在唯一的有序实数对$(x,y)$，使$\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}$。（ ）

答案： ×

例1 (1)已知$A$，$B$，$C$三点共线，$O$为直线外任意一点，若$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，则$m + n=$______。

答案： 1

例1 (2)如图，已知四边形$ABCD$是空间四边形，$E$，$H$分别是边$AB$，$AD$的中点，$F$分，$G$分别是边$CB$，$CD$上的点，且$\overrightarrow{CF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$。求证：四边形$EFGH$是梯形

答案： 因为$E$，$H$分别是$AB$，$AD$的中点，所以$\overrightarrow{EH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$。又$\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{CG}-\overrightarrow{CF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{BD}$，所以$\overrightarrow{EH}//\overrightarrow{FG}$且$|\overrightarrow{EH}|\neq|\overrightarrow{FG}|$，故四边形$EFGH$是梯形。

活学活用：如图，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$在$A_{1}D_{1}$上，且$\overrightarrow{A_{1}E}=2\overrightarrow{ED_{1}}$，$F$在对角线$A_{1}C$上，且$\overrightarrow{A_{1}F}=\frac{2}{3}\overrightarrow{FC}$。求证：$E$，$F$，$B$三点共线。

答案： 设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{c}$，则$\overrightarrow{A_{1}E}=\frac{2}{3}\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{A_{1}F}=\frac{2}{5}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$，$\overrightarrow{EB}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{EF}=\frac{2}{5}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}=\frac{2}{5}\boldsymbol{a}-\frac{4}{15}\boldsymbol{b}-\frac{2}{5}\boldsymbol{c}=\frac{2}{5}(\boldsymbol{a}-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=\frac{2}{5}\overrightarrow{EB}$所以$\overrightarrow{EF}//\overrightarrow{EB}$，又$E$为公共点，故$E$，$F$，$B$三点共线。