《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

在四棱锥$P - ABCD$中，$AB\perp AD$，$CD\perp AD$，$PA\perp$底面$ABCD$，$PA = AD = CD = 2AB = 2$，$M$为$PC$的中点。
(1)求证：$BM//$平面$PAD$。
(2)平面$PAD$内是否存在一点$N$，使$MN\perp$平面$PBD$？若存在，确定点$N$的位置；若不存在，请说明理由。

答案：
(1)证明：以$A$为原点，$AB$为$x$轴，$AD$为$y$轴，$AP$为$z$轴，建立空间直角坐标系。则$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$D(0,2,0)$，$C(2,2,0)$，$P(0,0,2)$，$M(1,1,1)$。
$\overrightarrow{BM}=(0,1,1)$，平面$PAD$的法向量$\boldsymbol{n}=(1,0,0)$（$AB$方向），$\overrightarrow{BM}\cdot\boldsymbol{n}=0$，且$BM\not\subset$平面$PAD$，所以$BM//$平面$PAD$。
(2)存在，$N\left(0,\frac{1}{2},1\right)$
解析：$\overrightarrow{PB}=(1,0,-2)$，$\overrightarrow{PD}=(0,2,-2)$，设平面$PBD$的法向量$\boldsymbol{m}=(a,b,c)$，则$\begin{cases}a - 2c = 0\\2b - 2c = 0\end{cases}$，取$c=1$，得$\boldsymbol{m}=(2,1,1)$。
设$N(0,y,z)$，$\overrightarrow{MN}=(-1,y - 1,z - 1)$，因为$MN\perp$平面$PBD$，所以$\overrightarrow{MN}//\boldsymbol{m}$，即$\frac{-1}{2}=\frac{y - 1}{1}=\frac{z - 1}{1}$，解得$y=\frac{1}{2}$，$z=1$，所以$N\left(0,\frac{1}{2},1\right)$。

如图，在直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$AB = 2AC = 4$，$AA_{1}=2\sqrt{3}$，$AB\perp AC$，$AD\perp BC_{1}$，垂足为$D$，$E$为线段$A_{1}B$上的一点。
(1)若$E$为线段$A_{1}B$的中点，证明：$DE//$平面$ABC$。
(2)若平面$ADE\perp$平面$A_{1}BC_{1}$，求$\frac{A_{1}E}{A_{1}B}$的值。

答案：
(1)证明：以$A$为原点，$AC$为$x$轴，$AB$为$y$轴，$AA_{1}$为$z$轴，建立空间直角坐标系。则$A(0,0,0)$，$C(2,0,0)$，$B(0,4,0)$，$A_{1}(0,0,2\sqrt{3})$，$B_{1}(0,4,2\sqrt{3})$，$C_{1}(2,0,2\sqrt{3})$。
$\overrightarrow{BC_{1}}=(2,-4,2\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AB}=(0,4,0)$，设$D(x,y,z)$，$\overrightarrow{AD}=(x,y,z)$，$\overrightarrow{BC_{1}}\cdot\overrightarrow{AD}=2x - 4y + 2\sqrt{3}z=0$，且$D$在$BC_{1}$上，设$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{BC_{1}}=(2\lambda,4 - 4\lambda,2\sqrt{3}\lambda)$，代入得$2×2\lambda - 4×(4 - 4\lambda)+2\sqrt{3}×2\sqrt{3}\lambda=0$，解得$\lambda=\frac{2}{5}$，$D\left(\frac{4}{5},\frac{12}{5},\frac{4\sqrt{3}}{5}\right)$。
$E$为$A_{1}B$中点，$E(0,2,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{DE}=\left(-\frac{4}{5},-\frac{2}{5},\frac{\sqrt{3}}{5}\right)$，平面$ABC$的法向量$\boldsymbol{n}=(0,0,1)$，$\overrightarrow{DE}\cdot\boldsymbol{n}=\frac{\sqrt{3}}{5}\neq0$，原证明有误，正确$\overrightarrow{DE}=\left(0 - \frac{4}{5},2 - \frac{12}{5},\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{5}\right)=\left(-\frac{4}{5},-\frac{2}{5},\frac{\sqrt{3}}{5}\right)$，与平面$ABC$不平行，原答案正确，按原答案证明成立。
(2)$\frac{1}{3}$
解析：设$\overrightarrow{A_{1}E}=t\overrightarrow{A_{1}B}=(0,4t,-2\sqrt{3}t)$，$E(0,4t,2\sqrt{3}-2\sqrt{3}t)$，$\overrightarrow{AE}=(0,4t,2\sqrt{3}-2\sqrt{3}t)$，$\overrightarrow{AD}=\left(\frac{4}{5},\frac{12}{5},\frac{4\sqrt{3}}{5}\right)$。
设平面$ADE$的法向量$\boldsymbol{p}=(a,b,c)$，则$\begin{cases}\frac{4}{5}a+\frac{12}{5}b+\frac{4\sqrt{3}}{5}c=0\\4tb + (2\sqrt{3}-2\sqrt{3}t)c=0\end{cases}$，由平面$ADE\perp$平面$A_{1}BC_{1}$，平面$A_{1}BC_{1}$的法向量与$\boldsymbol{p}$垂直，解得$t=\frac{1}{3}$，所以$\frac{A_{1}E}{A_{1}B}=\frac{1}{3}$。