《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

例2 如图，M，N 分别是四面体 OABC 的边 OA，BC 的中点，P，Q 分别是 MN 的三等分点．用向量$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$表示$\overrightarrow{OP}$和$\overrightarrow{OQ}$．

答案： $\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{ON}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OC}$
$\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OM}+\frac{2}{3}\overrightarrow{ON}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\frac{1}{6}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$

活学活用 如图，在平行六面体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{AA_1}=\boldsymbol{c}$，E，F 分别是$AD_1$，BD 的中点．
(1)用向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$表示$\overrightarrow{D_1B},\overrightarrow{EF}$．
(2)若$\overrightarrow{D_1F}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}+z\boldsymbol{c}$，求实数 x，y，z 的值．

答案：
(1)$\overrightarrow{D_1B}=\overrightarrow{D_1D}+\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{D_1A}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$
(2)$\overrightarrow{D_1F}=\overrightarrow{D_1D}+\overrightarrow{DF}=-\boldsymbol{c}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}=-\boldsymbol{c}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$，故$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2},z=-1$