《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学选择性必修第一册》

课时构建
当直线$ y=kx+b(k\neq 0) $与椭圆$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0) $的两交点为$ A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}) $时,$ |AB|=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}= $__________或$ |AB|= $__________.

答案： $\sqrt{1 + k^2}\cdot\frac{\sqrt{\Delta}}{|A|}$；$\sqrt{1 + \frac{1}{k^2}}\cdot\frac{\sqrt{\Delta}}{|A|}$（其中$\Delta$为一元二次方程判别式，$A$为二次项系数）

例1 已知斜率为2的直线$ l $经过椭圆$ \frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1 $的右焦点$ F_{1} $,与椭圆相交于$ A,B $两点,求弦$ AB $的长.

答案： $\frac{5\sqrt{5}}{3}$
解析：右焦点$F_1(1,0)$，直线$l:y = 2(x - 1)$，联立椭圆方程得$24x^2 - 40x = 0$，$x_1 = 0$，$x_2 = \frac{5}{3}$，$|AB| = \sqrt{1 + 2^2}|x_1 - x_2| = \sqrt{5}×\frac{5}{3} = \frac{5\sqrt{5}}{3}$。

活学活用
已知椭圆$ C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0) $的长轴长为$ 4\sqrt{3} $,短轴长为4.
(1)求椭圆$ C $的标准方程.
(2)设直线$ l:y=x+m $与椭圆$ C $交于不同的两点$ A,B $,且$ |AB|=3\sqrt{2} $,求直线$ AB $的方程.

答案：
(1)$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{4}=1$
解析：$2a = 4\sqrt{3}$，$a = 2\sqrt{3}$，$2b = 4$，$b = 2$，方程$\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1$。
(2)$y = x \pm 3$
解析：联立$\begin{cases}y = x + m\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1\end{cases}$，得$4x^2 + 6mx + 3m^2 - 12 = 0$，$\Delta = 36m^2 - 16(3m^2 - 12) = -12m^2 + 192$，$|AB| = \sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{\Delta}}{4} = 3\sqrt{2}$，$\sqrt{-12m^2 + 192} = 12$，$m^2 = 4$，$m = \pm 2$（原答案$m = \pm 3$错误，修正为$m = \pm 2$），直线方程$y = x \pm 2$。